JPG學習筆記3（附完整程式碼）

哇哩顧得發表於2021-02-18
筆記

　　取樣後，需要對8*8block進行DCT（離散餘弦變換)。為什麼要進行DCT？第一點是餘弦變化後的圖片能量主要集中在低頻，我們只需要儲存低頻資料，預設高頻0。第二點是，DCT後的圖片很適合哈夫曼壓縮，對於原圖而言，區域相連的pixle數值差不多，哈夫曼壓縮效果差。全部程式碼在 https://github.com/Cheemion/JPEG_COMPRESS。

圖片引用自"Compressed Image File Formats JPEG, PNG, GIF, XBM, BMP - John Miano"[1]

 　　　　　　　　　　

1.離散餘弦變換直覺上的認識

假設我們有一個2*2的圖片如下,最亮代表1, 最暗代表-1。

 我們普通的認識是，這是一個由4個4維向量組成的一個圖片（如下）。可以看成是一個2*2的平面向量，也可以看成4維向量(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)。每個向量兩兩相交，並且都是單位向量。這4個基向量可以得到任何的一張2*2的圖片。

（1，0，0，-1） = 1 *（1， 0， 0， 0） +  0 *（0，1， 0， 0） + 0 *（0， 0， 1， 0） + （-1） * （0， 0， 0， 1）；

離散餘弦變化，其實只是把上面的4個基向量進行了變化。如下

基向量變成了（0.5，0.5，0.5, 0.5）（0.5, -0.5, 0.5, -0.5） （0.5, 0.5, -0.5, -0.5） (0.5, -0,5, -0.5, 0.5)，每個向量兩兩相交，並且都是單位向量。這4個基向量可以得到任何的一張2*2的圖片。

所以DCT其實只是換了一個基向量而已。

左邊第一個圖為低頻，因為整個圖的顏色沒有變化，可以認為變化頻率為0

最右邊的圖為高頻，上下和左右的顏色都變化了一次。

（1，0，0，-1） =  0 *（0.5， 0.5， 0.5， 0.5） +  1 *（0.5，-0.5， 0.5， -0.5） + 1 *（0.5， 0.5， -0.5， -0.5） + 0  * （0.5， -0.5， -0.5， 0.5）；

藍色的係數只要通過原圖和新的基向量點成就可以得到，比如向量（0.5， 0.5， 0.5， 0.5）前面的係數為 1 * 0.5 + 0 * 0.5 + 0 * 0.5 + (-1) * 0.5 = 0;

2.離散餘弦變換公式上的認識

 DCT離散餘弦正變換

令G(i, j) = cos((i + 0.5) * pi * u /N) * cos((j + 0.5) * pi * u / N)， u 和 v是constant

隨著u和v從0到7(因為我們的block是8*8) 不斷的變化我們可以畫出如下圖

畫圖程式碼matlab如下

JPG學習筆記3（附完整程式碼） 
function [ out ] = g( u,v )
    p = zeros(8,8);
    for i = 0:7
        for j = 0:7
            p(i + 1,j + 1) = cos((i + 0.5) * u * pi / 8) * cos((j + 0.5) * v * pi / 8);
        end
    end
    out = p;
end
matlab畫圖程式碼
JPG學習筆記3（附完整程式碼） 
clc; clear; close all;
figure;
maximum = 0;
minimum = 100;
for u = 0:7
    for v = 0:7
        pp = g(u,v)
        subplot(8, 8, u * 8 + v + 1);
        imshow((pp + 1) ./ 2);
    end
end
matlab畫圖程式碼主函式

乘以係數c(u)c(v)是使我們的G(i, j)變成單位向量。公式剩餘部分就是點乘的過程。

 

 

 IDCT逆變換

3.程式碼

void DCT(Block& block) {
    Block temp;
    std::memcpy(&temp, &block, sizeof(Block)); //copy from original
    //8 rows
    //DCT行變化
    for(uint i = 0; i < 8; i++) {
        double* f = &temp[i * 8]; //one dimension Array , and will perform DCT on it
        for(uint k = 0; k < 8; k++) {
            double sum = 0.0;
            for(uint n = 0; n < 8; n++){
                sum = sum + f[n] * std::cos(((n + 0.5) * M_PI * k / 8));
            }
            sum = (k == 0) ? (sum * std::sqrt(1.0 / 8)) : (sum * std::sqrt(2.0 / 8));
            block[i * 8 + k] = sum;
        }
    }
    
    std::memcpy(&temp, &block, sizeof(Block)); //copy from 
    //DCT列變化
    for(uint i = 0; i < 8; i++) {
        double* f = &temp[i]; //one dimension Array with 8 steps increment , and will perform DCT on it
        for(uint k = 0; k < 8; k++) {
            double sum = 0.0;
            for(uint n = 0; n < 8; n++){
                sum = sum + f[n * 8] * std::cos(((n + 0.5) * M_PI * k / 8));
            }
            sum = (k == 0) ? (sum * std::sqrt(1.0 / 8)) : (sum * std::sqrt(2.0 / 8));
            block[i + k * 8] = sum;
        }
    }
}

 

 以上全部的程式碼在https://github.com/Cheemion/JPEG_COMPRESS/tree/main/Day3

 完結

  Thanks for reading.

   wish you have a good day.

                                                                                                                                                                                                                                                              >>>> JPG學習筆記4（附完整程式碼）

 

參考資料

[1]https://github.com/Cheemion/JPEG_COMPRESS/blob/main/resource/Compressed%20Image%20File%20Formats%20JPEG%2C%20PNG%2C%20GIF%2C%20XBM%2C%20BMP%20-%20John%20Miano.pdf

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