Matlab LQR 推導及簡單應用

本文主要介紹LQR的直觀推導，說明LQR目標函式J選擇的直觀含義以及簡單介紹矩陣Q,R的選取，最後總結LQR控制器的設計步奏，並將其應用在一個簡單的倒立擺例子上。      

      假設有一個線性系統能用狀態向量的形式表示成：

             

                                   ( 1 )

其中 ，初始條件是. 並且假設這個系統的所有狀態變數都是可測量到的。

      在介紹LQR前，先簡單回顧一下現代控制理論中最基本的控制器--全狀態反饋控制。

      全狀態反饋控制系統圖形如下：

                 

我們要設計一個狀態反饋控制器

             

使得閉環系統能夠滿足我們期望的效能。我們把這種控制代入之前的系統狀態方程得到

                               ( 2 )

對於(1)式的開環系統，由現代控制理論我們知道開環傳遞函式的極點就是系統矩陣A的特徵值。(傳遞函式的分母是|sI -A|，|·|表示行列式)

現在變成了(2)的閉環形式，狀態變換矩陣A變成了(A-BK)。因此通過配置反饋矩陣K，可以使得閉環系統的極點達到我們期望的狀態。注意，這種控制器的設計與輸出矩陣C,D沒有關係。

       那麼，什麼樣的極點會使得系統效能很棒呢？並且，當系統變數很多的時候，即使設計好了極點，矩陣K也不好計算。

       於是，LQR為我們設計最優控制器提供了一種思路。

在設計LQR控制器前，我們得設計一個能量函式，最優的控制軌跡應該使得該能量函式最小。一般選取如下形式的能量函式。

            ，其中Q是你自己設計的半正定矩陣，R為正定矩陣。

可是，為什麼能量函式(或稱系統的目標函式)得設計成這個樣子呢？

       首先假設狀態向量x(t)是1維的，那麼其實就是一個平方項 Qx^2 >= 0，同理. 能量函式J要最小，那麼狀態向量x(t)，u(t)都得小。J最小，那肯定是個有界的函式，我們能推斷當t趨於無窮時，狀態向量x(t)將趨於0，這也保證了閉環系統的穩定性。那輸入u(t)要小是什麼意思呢？它意味著我們用最小的控制代價得到最優的控制。譬如控制電機，輸入PWM小，將節省能量。

       再來看看矩陣Q,R的選取，一般來說，Q值選得大意味著，要使得J小，那x(t)需要更小，也就是意味著閉環系統的矩陣(A-BK)的特徵值處於S平面左邊更遠的地方，這樣狀態x(t)就以更快的速度衰減到0。另一方面，大的R表示更加關注輸入變數u(t),u(t)的減小，意味著狀態衰減將變慢。同時，Q為半正定矩陣意味著他的特徵值非負，R為正定矩陣意味著它的特徵值為正數。如果你選擇Q,R都是對角矩陣的話，那麼Q的對角元素為正數，允許出現幾個0.R的對角元素只能是正數。

       注意LQR調節器是將狀態調節到0，這與軌跡跟蹤不同，軌跡跟蹤是使得系統誤差為0.

        知道了背景後，那如何設計反饋矩陣K使得能量函式J最小呢？很多地方都是從最大值原理，Hamilton函式推匯出來。這裡用另外一種更容易接受的方式推導。

將u = -Kx 代入之前的能量函式得到：

                        ( 3 )

為了找到K,我們先不防假設存在一個常量矩陣P使得：

                    (4)

代入(3)式得：

                   (5)

注意，我們已經假設閉環系統是穩定的，也就是t趨於無窮時，x(t)趨於0.

現在把(4)式左邊的微分展開，並把狀態變數x的微分用(2)式替代得到：

                

這個式子要始終成立的話，括號裡的項必須恆等於0.

                

這是一個關於K的二次型等式，當然這個二次型是我們不願看到的，因為計算複雜。現在只要這個等式成立，我們何必不選擇K使得兩個二次項正好約掉了呢？這樣既符合了要求，又簡化了計算。

取    代入上式得：

             (6)

K的二次項沒有了，可K的取值和P有關，而P是我們假設的一個量，P只要使得的(6)式成立就行了。而(6)式在現代控制理論中極其重要，它就是有名的Riccati 方程。

現在回過頭總結下LQR控制器是怎麼計算反饋矩陣K的：

       1.選擇引數矩陣Q,R

       2.求解Riccati 方程得到矩陣P

       3.計算

再看看LQR的結構圖：

              

關於它的應用呢，比較典型的就是倒立擺控制器的設計。

倒立擺的狀態變數為,其中p(t)是小車位置，θ是倒立擺的角度。系統結構如程式所示：

A = [0 1 0 0
     0 0 -1 0
     0 0 0 1
     0 0 9 0];
B = [0;0.1;0;-0.1];
C = [0 0 1 0];   %觀測角度
D = 0;

Q = [1 0 0 0
     0 1 0 0
     0 0 10 0
     0 0 0 10
    ];
R = 0.1;
%由上面這個系統，可以計算出K
K = lqr(A,B,Q,R);
Ac = A - B*K;
%對系統進行模擬
x0 = [0.1;0;0.1;0]; %初始狀態
t = 0:0.05:20;
u = zeros(size(t));
[y,x]=lsim(Ac,B,C,D,u,t,x0); 
figure
plot(t,y);

最後看到角度回到0，即平衡位置，控制器起到了作用，你可以選擇不同的Q,R進行對比。

reference：

1.F.L. Lewis .<< Linear Quadratic Regulator (LQR) State Feedback Design >>

2.http://ctms.engin.umich.edu/CTMS/index.php?example=InvertedPendulum&section=ControlStateSpace

3.http://ctms.engin.umich.edu/CTMS/index.php?example=InvertedPendulum&section=ControlStateSpace