數論還是有很多沒學完 只是小小的總結
一、同餘定理
1.反身性：\(a\equiv a (mod m)\)
2.對稱性：若\(a\equiv b(mod m)\)，則\(b\equiv a (mod m)\)
3.傳遞性：若\(a\equiv b(mod m)\)，\(b\equiv c(mod m)\)，則\(a\equiv c(mod m)\)
4.同餘式相加：若\(a\equiv b(mod m)\)，\(c\equiv d(mod m)\)，則\(ac\equiv bd(mod m)\)
5.同餘式相乘：若\(a\equiv b(mod m)\)，\(c\equiv d(mod m)\)，則\(ac\equiv bd(mod m)\)
二、最小公倍數與最大公約數
最大公約數：GCD
輾轉相除法：設\(gcd(a,b)\)為\(a\)與\(b\)的最大公約數
當\(b\)為0時，此時的\(a\)即為二者的最大公約數
long long gcd(long long a, long long b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }
最小公倍數：LCM
記\(d=gcd(a,b)\)，\(a=a'd\)，\(b=b'd\)，可以看出 \(lcm(a,b)=\frac{ab}{gcd(a,b)}\)
三、整除
給定\(a\),\(b\)兩個數，若b能整除a，記作\(b\mid a\)，反之記作\(a\nmid b\)
簡單定理：
- 若\(b\mid a\)，且\(c\mid b\)，則\(c\mid a\)
- 若\(c\mid a\)，且\(c\mid b\)，則\(c\mid \left(na+mb\right)\)
四、素數與合數
對於任意一個大於1的自然數，只有1和它本身兩個因子，則稱為素數
素數定理：小於等於x的素數個數 \(\approx \frac{x}{\ln x}\) ，可以用來估計素數個數，進而估算所開陣列的大小
不是素數的大於1的自然數稱為合數
素數篩法：
1、暴力列舉
複雜度：\(O(\log{n})\)
由於任意一個數\(x\)的因子可看為兩部分，小於\(\sqrt{x}\)與大於\(\sqrt{x}\)，因此可以列舉所有\(\{i\mid i\le \sqrt{x}\}\)，如若出現\(i\mid x\)，則不是素數，反之是素數。
一般用於對某單個數的素性判定
bool check(int x)
{
int end = sqrt(x);
for (int i = 2; i <= end; ++i)
{
if (x % i == 0)
return false;
}
return true;
}
擴充內容（求單個合數的最大質因數）
對於任何一個數\(x\)，可以將他進行質因數分解，且同時保證\(prime[i]^2\le x_{cur}\)進行優化。
首先可以預處理出所有\(\{prime\mid prime \le \sqrt{x}\}\)，這樣\(x\)的質因數分解一定是在這個集合中，或者只有最大質因數不在這個集合中。如果所剩下的最後一個數為1，即完美的進行了質因數分解，則最大質因數為最後一次除的質數，反之則最後剩下的數即為最大質因數
const int maxn = 10000;
int vis[maxn];
int cnt, prime[maxn/10];
void Euler_Sieve()
{
for (int i = 2; i < maxn; ++i)
{
if (!vis[i]) prime[cnt++] = i;
for (int j = 0; j < cnt && prime[j] * i < maxn; ++j)
{
vis[prime[j] * i] = true;
if (i % prime[j] == 0)
break;
}
}
}
int Maximum_prime_factor(int x)
{
int ans;
for (int i = 0; i < cnt && prime[i] * prime[i] <= x; ++i)
{
if (x % prime[i] == 0)
{
ans = prime[i];
while (x % prime[i] == 0)
x /= prime[i];
}
}
return x == 1 ? ans : x;
}
2、埃氏篩法
複雜度：\(O(\log{\log{n}})\)
由於對於任何合數而言，他們能夠被任意\(prime\) 整除，所以，可以通過列舉\(k*prime(k*prime\le lim_{up})\)，來篩選出一些約數，而沒有被篩選過的自然就是素數
值得說明的是：當選中某個\(prime\)時，比\(prime\)小的質數的倍數已經被篩出了，所以為了減小時間複雜度，可以從\(prime^2\)開始篩選
const int maxn = 10000;
bool vis[maxn];
int cnt, prime[maxn / 10];
void Eratosthenes_Sieve()
{
for (int i = 2; i < maxn; ++i)
{
if (vis[i]) continue;
prime[cnt++] = i;
for (int j = i * i; j < maxn; j += i)
vis[j] = true;
}
}
擴充內容（求出多個合數的最大質因數）
利用埃氏篩法是由小質數到大質數的篩選過程，每次大質數篩選時會覆蓋之前小質數的結果，因此可以得到實現程式碼
注意：開始條件從\(i^2\)變為了\(2i\)
#include<cstdio>
const int maxn = 10000;
int vis[maxn];
int cnt, prime[maxn / 10];
void get_Maximum_prime_factors()
{
for (int i = 2; i < maxn; ++i)
{
if (vis[i]) continue;
prime[cnt++] = i;
for (int j = 2*i; j < maxn; j += i)
vis[j] = i;
}
}
3、尤拉篩
複雜度：\(O(n)\)
通過對每個合數，只用其最小的質因數進行篩選的思想，每次將\(cur*prime[i]\)對應的數篩出，為了保證最小的質因數篩出，當\(prime[i]\mid cur\)時，需要break
原因在於設\(cur=k*prime[i]\)，那麼如果繼續篩即對於
則可以看出來，這個數\(n\)本應該在列舉到數\(k*prime[i+1]\)(比\(cur\)大)被\(prime[i]\)篩出
void Euler_Sieve()
{
for (int i = 2; i < maxn; ++i)
{
if (!vis[i]) prime[cnt++] = i;
for (int j = 0; j < cnt && prime[j] * i < maxn; ++j)
{
vis[prime[j] * i] = true;
if (i % prime[j] == 0)
break;
}
}
}
擴充內容（求出多個合數的最小質因數）
利用尤拉篩每個數都被其最小質因數所篩去
注意：開始條件從\(i^2\)變為了\(2i\)
#include<cstdio>
const int maxn = 10000;
int vis[maxn];
int cnt, prime[maxn / 10];
void get_Maximum_prime_factors()
{
for (int i = 2; i < maxn; ++i)
{
if (!vis[i]) vis[i] = prime[cnt++] = i;
for (int j = 0; j < cnt && prime[j] * i < maxn; ++j)
{
vis[prime[j] * i] = prime[j];
if (i % prime[j] == 0)
break;
}
}
}
4、杜教篩
待學
5、min25篩
待學