火柴排隊

凌曦月lx發表於2020-10-26

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思路

我們需要讓\(\sum_{i=1}^{n}(a_i-b_i)^2\)最小化，也就是等於\(0\)，我們就需要讓\(a\)序列和\(b\)序列所有元素對應相同。

我們先離散化一下，然後就求最少幾個操作使得\(b\)序列轉換為\(a\)序列。

我們再建立一個陣列\(z\)。

假設我們現在有離散化後的序列 \(a = \{4, 3, 1, 2\},b = \{1, 3, 2, 4\}\)。

我們令\(z[a[i]]=b[i]\)，相當於以\(a[i]\)為關鍵字對序列\(b[i]\)排序。

若序列\(a\)與序列\(b\)相等，那麼此時\(z[a[i]]\)應該等於\(a[i]\)的，也就是\(z[i] = i\)。

如果我們要\(a\)序列與\(b\)序列相同，則我們需要將\(z\)陣列進行升序排列，那交換次數就是逆序對數。

我使用的樹狀陣列。

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long MOD=99999997;
int n;
long long a[1000005],b[1000005],x[1000005],y[1000005],BIT[1000005],z[1000005];

bool cmp1(int x,int y) { return a[x]<a[y]; }

bool cmp2(int x,int y) { return b[x]<b[y]; }

int lowbit(int x) { return x & -x; }

void update(int k,int x) {
    for(int i=k;i<=n;i+=lowbit(i)) BIT[i]+=x;
    return ;
}

long long ask(int x) {
    long long ans=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) ans+=BIT[i];
    return ans;
}

int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%d",&a[i]);
        x[i]=y[i]=i;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);
    sort(x+1,x+n+1,cmp1);
    sort(y+1,y+n+1,cmp2);
    
    for(int i=1;i<=n;i++) z[x[i]]=y[i];
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)  {
        ans+=i-ask(z[i])-1;
	    update(z[i],1);
        ans%=MOD;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

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