一、字串雜湊
定義
字串雜湊實質上就是把每個不同的字串轉成不同的整數
這樣相對於儲存整個字串來說佔用的空間更少，而且也便於比較
實現
我們可以把每一個字元想象成一個數字，然後確立一個進位制\(bas\)
比如一個字串\(abc\)
我們可以把它表示為\((c-a+1)\times bas^{0} + (b-a+1)\times bas^{1} +(a-a+1)\times bas^{2}\)
這裡有幾個需要注意的地方
首先進位制的選擇要大於字元的種類數，否則會有很大的概率出現衝突
還有就是我們在把字元轉成整形的時候，可以直接使用它的\(ASCII\)碼值，也可以用它減去一個字元
但是在使用第二種方法的時候，減去一個字元後要加上一個\(1\)，否則會出現錯誤
比如字串\(aaa\)和\(aa\)，如果我們將每一個字元減去\(a\)後不把它加上\(1\)的話
最後兩個字串的雜湊值都會變成\(0\)，也就是說會把這兩個字串判成相等，會出現錯誤的結果
由於字串的長度可能很大，因此如果我們一直把它的雜湊值累加的話，很有可能會溢位
因此，我們要對某個字串的雜湊值取模，方法有兩種
一種是選取一個較大的質數
比如\(19260817\)、\(19660813\)、\(1222827239\)、\(212370440130137957\)
另一種是使用\(unsigned long long\)使其自然溢位
其實後一種方法就相當於對\(2^{64}-1\)取模
還有一種操作是取出字串中某一段字元\([l,r]\)的\(hash\)值
這時我們要用到一個公式\(ha[r]-ha[l-l]*pw[r-l+1]\)
其中\(ha[i]\)為該字串前\(i\)位的\(hash\)值，\(pw[i]\)為進位制\(bas\)的\(i\)次方
程式碼實現
我們拿洛谷P3370來舉例子
這裡我用的是自然溢位
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;
const int maxn=1e5+5;
ll f[maxn];
ll bas=233,cnt=0;
ll get_hash(char s[]){
ll ans=0,len=strlen(s);
for(ll i=0;i<len;i++){
ans=ans*bas+s[i];
}
return ans;
}
char s[maxn];
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
while(n--){
scanf("%s",s);
f[++cnt]=get_hash(s);
}
sort(f+1,f+1+cnt);
int now=1;
for(ll i=2;i<=cnt;i++){
if(f[i]!=f[i-1]) now++;
}
printf("%d\n",now);
}
二、KMP字串匹配
定義
\(KMP\)演算法是一種改進的字串匹配演算法，由\(D.E.Knuth，J.H.Morris\)和\(V.R.Pratt\)提出的，因此人們稱它為克努特—莫里斯—普拉特操作（簡稱\(KMP\)演算法）。\(KMP\)演算法的核心是利用匹配失敗後的資訊，儘量減少模式串與主串的匹配次數以達到快速匹配的目的。具體實現就是通過一個\(next()\)函式實現，函式本身包含了模式串的區域性匹配資訊。\(KMP\)演算法的時間複雜度\(O(m+n)\)
通俗的來說就是在需要匹配的那個串上給每個位置一個失配指標\(fail[j]\)，表示在當前位置j失配的時候需要返回到\(fail[j]\)位置繼續匹配，而這就是KMP演算法優秀複雜度的核心。
實現
我們設\(fail[i]\)為第\(1\)-第\(i\)位中字首與字尾相同的部分最長是多長。
這樣，即可以理解為，若第\(i\)位失配了，則至少要往前跳多少步，才可能重新匹配得上。
我們拿實際的圖來演示一下
目前，我們匹配到了\(i-1\)的位置，\(fail[i-1]=j\)
即圖中劃黃色線的部分完全相同
我們拿當前的\(fail[i-1]\)去繼續匹配
如果\(s[i]=s[j+1]\)那麼\(fail[i]\)更新為\(j+1\)即可
如果\(s[i] \neq s[j+1]\)那麼如果按照暴力的思路，我們會把\(j--\)繼續匹配
但是實際上，我們可以直接從\(fial[j]\)的位置開始匹配
因為圖中兩個藍色的部分完全相等，而根據黃色的部分完全相等
我們又可以知道從\(i-1\)開始也有一個藍色的部分和它相等
這時我們只需要判斷\(s[i]\)與\(s[fail[j]+1]\)的關係就可以了
如果不存在，則繼續跳\(fail\)
易證當前一定是次優解
程式碼實現
我們拿洛谷P3375來舉例子
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e6+5;
char s[maxn],s1[maxn];
int f[maxn];
int main(){
scanf("%s%s",s+1,s1+1);
int l=strlen(s+1);
int l1=strlen(s1+1);
for(int i=2,j=0;i<=l1;i++){
while(j && s1[i]!=s1[j+1]) j=f[j];
if(s1[i]==s1[j+1]) f[i]=++j;
}
for(int i=1,j=0;i<=l;i++){
while(j && s[i]!=s1[j+1]) j=f[j];
if (s[i]==s1[j+1]) j++;
if(j==l1){
printf("%d\n",i-l1+1);
j=f[j];
}
}
for(int i=1;i<=l1;i++){
printf("%d ",f[i]);
}
printf("\n");
return 0;
}
三、manacher演算法
定義
馬拉車\(（Manacher）\)演算法是在\(O（n）\)時間內解決尋找源字串的最長迴文子串\(S\)的問題的演算法。
實現
首先我們要知道，迴文串分為奇迴文串和偶迴文串
像\(aaaa\)這樣的就是偶迴文串，而\(aba\)則是奇迴文串
不難發現，奇迴文串都有一個迴文中心，因此在查詢時可以由中心向兩邊擴充套件
但是偶迴文串則沒有這一個性質，因此查詢起來不如奇迴文串方便
為了使查詢更方便，我們可以讓所有的偶迴文串都變成奇迴文串
操作實現也很簡單，就是將原字串的首部和尾部以及每兩個字元之間插入一個特殊字元，這個字元是什麼不重要，不會影響最終的結果
同時還要在隊首之前再插入另一種特殊字元，防止運算時越界
比如\(abaca\)擴充套件後變為\(#*a*b*a*c*a*\)
在進行馬拉車演算法時，我們要維護一個已經確定的右側最靠右的迴文串的右邊界\(r\)和迴文中心\(mids\)
同時定義一個陣列\(f[i]\)為以\(i\)為中心的最大回文半徑
當我們遍歷到\(i\)時，如果\(i\)在右邊界之內
那麼根據對稱性，有\(f[i]=f[s*mids-i]\)
同時，\(i\)所擴充套件的範圍必須在\(r\)之內，因此結果還要與\(r-i+1\)取\(min\)
擴充套件完已知的區域，我們再向兩邊擴充套件未知的區域
最後我們更新\(mids\)和\(r\)即可
最後的答案就是最大回文半徑減去一，手模一下即可
程式碼實現
我們拿洛谷P3805來舉例子
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=22e6+5;
char s1[maxn],s[maxn];
int f[maxn],ans,n,cnt;
int main(){
scanf("%s",s1+1);
n=strlen(s1+1);
cnt=2*n+1;
for(int i=1;i<=cnt;i++){
if(i&1) s[i]='&';
else s[i]=s1[i/2];
}
s[0]='%';
for(int i=1,mids=0,r=0;i<=cnt;i++){
if(i<=r) f[i]=min(f[2*mids-i],r-i+1);
while(s[i+f[i]]==s[i-f[i]]) f[i]++;
if(i+f[i]>r) r=i+f[i]-1,mids=i;
if(f[i]>ans) ans=f[i];
}
printf("%d\n",ans-1);
return 0;
}