概述
在學習法線貼圖的過程中，有幾個比較難以理解的概念，這裡記錄一下。特別說一下，本文的法線貼圖是切線空間下的法線貼圖。
空間變換
如上圖所示，簡單表達了在使用法線貼圖的過程中，涉及到的幾個空間變換：
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切線空間：從法線貼圖中取樣得到的法線，在切線空間中；
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物件空間：物體的本地座標空間，頂點的相關資訊，在物件空間；
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世界空間：光源位置、觀察者位置等，在世界空間中。
在空間變換的過程中，主要涉及到了兩個變換矩陣：
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\(TBN\)矩陣：從切線空間變換到物件空間；
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\(Model\)矩陣：從物件空間變換到世界空間。
對於上述概念，大部分都是比較熟悉的，只有法線貼圖、切線空間和\(TBN\)矩陣比較陌生。下面，將分別介紹一下。
法線貼圖
在3D計算機圖形學中，法線貼圖是一種用於偽造凹凸光照的技術，是凹凸貼圖的一種實現。它用於新增細節，而不使用更多的多邊形。這種技術的一個常見用途是，通過從高精度多邊形或高度圖生成法線貼圖，來極大地增強低精度多邊形的外觀和細節。下圖來自Paolo Cignoni，圖中對比了兩種方式：
法線貼圖通常儲存為常規RGB影像，其中RGB分量分別對應於表面法線的X，Y和Z座標。
法線的每個分量的值的範圍是\([-1,1]\)，而RGB分量的值的範圍是\([0,1]\)。所以，在將法線儲存為RGB影像時，需要對每個分量做一個對映：
這裡要注意，將法線儲存到法線貼圖的過程中，需要進行上述操作。當我們從法線貼圖中讀取到法線資料後，需要進行上述變換的逆變換，即從\([0,1]\)對映到\([-1,1]\)。
切線空間
那麼，法線向量應該相對於哪個座標系呢？我們可以選擇模型頂點的的座標系，即物件空間；也可以選擇模型紋理所在的座標系，即切線空間，也稱為紋理空間。
物件空間中，法線資訊是相對於物件空間的朝向的，各個方向的法線向量都有，所有貼圖看起來色彩比較豐富；而在切線空間中，法線是相對於頂點的，大致指向頂點資訊中的法線方向，即法線向量接近於\((0,0,1)\)，對映到RGB是\((0.5,0.5,1)\)，這是一種偏藍的顏色。下圖分別是物件空間和切線空間下的法線紋理。
那麼，怎麼進行選擇呢？考慮一下二者的優缺點：
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重用性：對於物件空間的法線貼圖，它是相對於特定物件的，假如應用到其他的物件上，可能效果就不正確了；而切線空間中的法線貼圖，記錄的是相對法線資訊，所以可以把它應用到其他物件上，也能得到正確的結果。
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可壓縮：考慮到法線向量是單位向量，而且Z分量總是正的，可以只儲存XY方向，而推匯出Z方向。
綜上所述，我們一般選擇切線空間下的法線貼圖。
\(TBN\)矩陣
在光照的計算過程中，需要用到光線方向、視線方向和法線方向等，為了得到正確的結果，這些變數必須在同一座標系下計算。參考一下本文開頭的“座標變換示意圖”。
在紋理座標系中，x和y分量與2D圖片的水平方向和垂直方向對齊，而z分量指向圖片外部的上方。如下圖所示：
為了正確使用貼圖中的紋理資訊，我們必須找到一種方法——從切線座標空間變換到物件空間。這可以通過指定切線座標系的座標軸在物件空間中的方向來達到。
對一個單獨的三角形面片來說，我們可以認為紋理貼圖覆蓋在三角形的表面上，如下圖所示：
根據上圖，可以得出：三角面片和紋理貼圖是共面的。那麼，根據平行四邊形法則，可以得出：
其中，\(E_{1}\)和\(E_{2}\)是兩個頂點之間的向量差，可以根據頂點的座標計算出來；\(\Delta U_{1}\)、\(\Delta V_{1}\)、\(\Delta U_{2}\)和\(\Delta V_{2}\)分別是紋理座標的水平和垂直方向的差，可以根據紋理座標計算得到。\(U\)和\(V\)分別是紋理的水平和垂直座標軸，是要計算的未知量。
寫成座標表示：
上面的方程，也可以寫成矩陣乘法的形式：
兩邊同時乘以\(\Delta U \Delta V\)的逆矩陣，可得：
求逆矩陣不太方便，可以使用伴隨矩陣法：
至此，我們求出了\(U\)和\(V\)向量。但是我們需要的構成\(TBN\)空間的座標軸是正交的，這裡求出的\(U\)和\(V\)並不一定能滿足正交的條件。這裡，頂點的法線\(N\)是已知的，我們可以根據\(U\)、\(V\)和\(N\)，根據格拉姆-施密特正交化方法，求出與\(N\)正交的\(T\)和\(B\)（此處假設切線空間是右手座標系）：
這樣，我們獲得了座標軸相互正交的\(TBN\)矩陣。
實際使用中的法線貼圖
看完上面計算切線空間的\(TBN\)矩陣的部分，估計也是頭大。不禁想到，每次使用法線貼圖的過程，真的如此麻煩嗎？
幸運的是，答案是否定的。
一般情況下，模型儲存的頂點資訊中，都包含了頂點的法線和切線的資料，這樣，我們就不用進行上面的複雜計算了，直接使用法線和切線的叉乘，求出副切線，從而構成\(TBN\)矩陣。