[ 導讀 ]不管是傳統機器學習，還是當前火熱的深度學習，Normalization技術都是能夠提升演算法效能的大殺器。本文以非常宏大和透徹的視角分析了深度學習中的多種Normalization模型，包括大家熟悉的Batch Normalization (BN)和可能不那麼熟悉的Layer Normalization (LN)、Instance Normalization (IN) 及Group Normalization (GN)模型；用生動形象的例子闡述了這些Normalization模型之間的區別和聯絡；並在一個統一的數學框架下分析了它們的性質；最後從一個新的數學視角分析了BN演算法為什麼有效。
1、從Mini-Batch SGD說起
我們先從Mini-Batch SGD的最佳化過程講起，因為這是下一步理解Batch Normalization中Batch所代表具體含義的知識基礎。
我們知道，SGD是無論學術圈寫文章做實驗還是工業界調參跑模型最常用的模型最佳化演算法，但是有時候容易被忽略的一點是：一般提到的SGD是指的Mini-batch SGD，而非原教旨意義下的單例項SGD。
圖1. Mini-Batch SGD 訓練過程（假設Batch Size=2）所謂“Mini-Batch”,是指的從訓練資料全集T中隨機選擇的一個訓練資料子集合。假設訓練資料集合T包含N個樣本，而每個Mini-Batch的Batch Size為b，於是整個訓練資料可被分成N/b個Mini-Batch。在模型透過SGD進行訓練時，一般跑完一個Mini-Batch的例項，叫做完成訓練的一步（step）,跑完N/b步則整個訓練資料完成一輪訓練，則稱為完成一個Epoch。完成一個Epoch訓練過程後，對訓練資料做隨機Shuffle打亂訓練資料順序，重複上述步驟，然後開始下一個Epoch的訓練，對模型完整充分的訓練由多輪Epoch構成（參考圖1。
在拿到一個Mini-Batch進行引數更新時，首先根據當前Mini-Batch內的b個訓練例項以及引數對應的損失函式的偏導數來進行計算，以獲得引數更新的梯度方向，然後根據SGD演算法進行引數更新，以此來達到本步（Step）更新模型引數並逐步尋優的過程。
圖2. Mini-Batch SGD最佳化過程具體而言，如果我們假設機器學習任務的損失函式是平方損失函式：
那麼，由Mini-Batch內訓練例項可得出SGD最佳化所需的梯度方向為：
根據梯度方向即可利用標準SGD來更新模型引數：
其中，是學習率。
由上述過程（參考圖2）可以看出，對於Mini-Batch SGD訓練方法來說，為了能夠引數更新必須得先求出梯度方向，而為了能夠求出梯度方向，需要對每個例項得出當前引數下對映函式的預測值，這意味著如果是用神經網路來學習對映函式 的話，Mini-Batch內的每個例項需要走一遍當前的網路，產生當前引數下神經網路的預測值，這點請注意，這是理解後續Batch Normalization的基礎。
至於Batch Size的影響，目前可以實驗證實的是：batch size 設定得較小訓練出來的模型相對大batch size訓練出的模型泛化能力更強，在測試集上的表現更好，而太大的batch size往往不太Work，而且泛化能力較差。但是背後是什麼原因造成的，目前還未有定論，持不同看法者各持己見。因為這不是文字的重點，所以先略過不表。
2、Normalization到底是在做什麼
Normalization的中文翻譯一般叫做“規範化”，是一種對數值的特殊函式變換方法，也就是說假設原始的某個數值是x，套上一個起到規範化作用的函式，對規範化之前的數值x進行轉換，形成一個規範化後的數值，即：
所謂規範化，是希望轉換後的數值滿足一定的特性，至於對數值具體如何變換，跟規範化目標有關，也就是說f()函式的具體形式，不同的規範化目標導致具體方法中函式所採用的形式不同。
其實我們生活中也有很多類似的規範化操作，知乎裡面有個熱帖，主題是：“為什麼人大附中的學生那麼愛穿校服？”，裡面有人打趣地問：“請問人大附中的學生洗澡的時候脫不脫校服？”。這個問題我回答不了，要我猜大機率夏天洗澡的時候是會脫的，要不然洗澡的時候天太熱人受不了，冬天則未必，穿著洗可能更保暖。跑題了，其實我想說的是：學校要求學生穿校服就是一種典型的規範化操作，學校的規範化目標是要求學生著裝整齊劃一，顯得幹練有風貌，所以定義了一個規範化函式：
就是說不論哪個學生，不論你平常的著裝變數x=”香奈兒”還是x=“麻袋片”，經過這個規範化函式操作，統一都換成校服。這樣就達到了學校的規範化目的。
圖3. 神經元在介紹深度學習Normalization前，我們先普及下神經元的活動過程。深度學習是由神經網路來體現對輸入資料的函式變換的，而神經網路的基礎單元就是網路神經元，一個典型的神經元對資料進行處理時包含兩個步驟的操作（參考圖3）：
步驟一：對輸入資料進行線性變換，產生淨啟用值
其中，x是輸入，w是權重引數，b是偏置，w和b是需要進過訓練學習的網路引數。
步驟二：套上非線性啟用函式，神經網路的非線效能力來自於此，目前深度學習最常用的啟用函式是Relu函式
如此一個神經元就完成了對輸入資料的非線性函式變換。這裡需要強調下，步驟一的輸出一般稱為淨啟用（Net Activation），第二步驟經過啟用函式後得到的值為啟用值。為了描述簡潔，本文後續文字中使用啟用的地方，其實指的是未經啟用函式的淨啟用值，而非一般意義上的啟用，這點還請注意。
至於深度學習中的Normalization，因為神經網路裡主要有兩類實體：神經元或者連線神經元的邊，所以按照規範化操作涉及物件的不同可以分為兩大類，一類是對第L層每個神經元的啟用值或者說對於第L+1層網路神經元的輸入值進行Normalization操作，比如BatchNorm/LayerNorm/InstanceNorm/GroupNorm等方法都屬於這一類；另外一類是對神經網路中連線相鄰隱層神經元之間的邊上的權重進行規範化操作，比如Weight Norm就屬於這一類。廣義上講，一般機器學習裡看到的損失函式裡面加入的對引數的的L1/L2等正則項，本質上也屬於這第二類規範化操作。L1正則的規範化目標是造成引數的稀疏化，就是爭取達到讓大量引數值取得0值的效果，而L2正則的規範化目標是有效減小原始引數值的大小。有了這些規範目標，透過具體的規範化手段來改變引數值，以達到避免模型過擬合的目的。
本文主要介紹第一類針對神經元的規範化操作方法，這是目前DNN做Normalization最主流的做法。
圖4. Normalization加入的位置
那麼對於第一類的Normalization操作，其在什麼位置發揮作用呢？
目前有兩種在神經元中插入Normalization操作的地方（參考圖4），第一種是原始BN論文提出的，放在啟用函式之前；另外一種是後續研究提出的，放在啟用函式之後，不少研究表明將BN放在啟用函式之後效果更好。本文在講解時仍然遵循BN原始論文，後續講解都可以看成是將Normalization操作放在啟用函式之前進行。
對於神經元的啟用值來說，不論哪種Normalization方法，其規範化目標都是一樣的，就是將其啟用值規整為均值為0，方差為1的正態分佈。即規範化函式統一都是如下形式：
寫成兩步的模式是為了方便講解，如果寫成一體的形式，則是如下形式：
其中，為某個神經元原始啟用值，
為經過規範化操作後的規範後值。整個規範化過程可以分解為兩步，第一步參考公式（1），是對啟用值規整到均值為0，方差為1的正態分佈範圍內。其中，
是透過神經元集合S（至於S如何選取讀者可以先不用關注，後文有述）中包含的m個神經元各自的啟用值求出的均值，即：
為根據均值和集合S中神經元各自啟用值求出的啟用值標準差：
其中，是為了增加訓練穩定性而加入的小的常量資料。
第二步參考公式（2），主要目標是讓每個神經元在訓練過程中學習到對應的兩個調節因子，對規範到0均值，1方差的值進行微調。因為經過第一步操作後，Normalization有可能降低神經網路的非線性表達能力，所以會以此方式來補償Normalization操作後神經網路的表達能力。
目前神經網路中常見的第一類Normalization方法包括Batch Normalization/Layer Normalization/Instance Normalization和Group Normalization，BN最早由Google研究人員於2015年提出，後面幾個演算法算是BN的改進版本。不論是哪個方法，其基本計算步驟都如上所述，大同小異，最主要的區別在於神經元集合S的範圍怎麼定，不同的方法採用了不同的神經元集合定義方法。
為什麼這些Normalization需要確定一個神經元集合S呢？原因很簡單，前面講過，這類深度學習的規範化目標是將神經元的啟用值 限定在均值為0方差為1的正態分佈中。而為了能夠對網路中某個神經元的啟用值 規範到均值為0方差為1的範圍，必須有一定的手段求出均值和方差，而均值和方差是個統計指標，要計算這兩個指標一定是在一個集合範圍內才可行，所以這就要求必須指定一個神經元組成的集合，利用這個集合裡每個神經元的啟用來統計出所需的均值和方差，這樣才能達到預定的規範化目標。
圖5. Normalization具體例子圖5給出了這類Normalization的一個計算過程的具體例子，例子中假設網路結構是前向反饋網路，對於隱層的三個節點來說，其原初的啟用值為[0.4,-0.6,0.7]，為了可以計算均值為0方差為1的正態分佈，劃定集合S中包含了這個網路中的6個神經元，至於如何劃定集合S讀者可以先不用關心，此時其對應的啟用值如圖中所示，根據這6個啟用值，可以算出對應的均值和方差。
有了均值和方差，可以利用公式3對原初啟用值進行變換，如果r和b被設定為1，那麼可以得到轉換後的啟用值[0.21，-0.75,0.50]，對於新的啟用值經過非線性變換函式比如RELU，則形成這個隱層的輸出值[0.21,0,0.50]。這個例子中隱層的三個神經元在某刻進行Normalization計算的時候共用了同一個集合S，在實際的計算中，隱層中的神經元可能共用同一個集合，也可能每個神經元採用不同的神經元集合S，並非一成不變，這點還請留心與注意。
針對神經元的所有Normalization方法都遵循上述計算過程，唯一的不同在於如何劃定計算統計量所需的神經元集合S上。讀者可以自己思考下，如果你是BN或者其它改進模型的設計者，那麼你會如何選取集合S？
3、Batch Normalization如何做
我們知道，目前最常用的深度學習基礎模型包括前向神經網路（MLP），CNN和RNN。目前BN在這些基礎網路結構都有嘗試，總體而言，BN在MLP和CNN是非常成功的，在RNN上效果不明顯。下面我們分述前向神經網路以及CNN中如何應用BN，然後談談BN面臨的一些困境。正是這些困境引發了後續的一系列改進模型的提出。
3.1、前向神經網路中的BN
圖6. 前向神經網路中的BatchNorm
對於前向神經網路來說，BatchNorm在計算隱層某個神經元k啟用的規範值的時候，對應的神經元集合S範圍是如何劃定呢？圖6給出了示意。因為對於Mini-Batch訓練方法來說，根據Loss更新梯度使用Batch中所有例項來做，所以對於神經元k來說，假設某個Batch包含n個訓練例項，那麼每個訓練例項在神經元k都會產生一個啟用值，也就是說Batch中n個訓練例項分別透過同一個神經元k的時候產生了n個啟用值，BatchNorm的集合S選擇入圍的神經元就是這n個同一個神經元被Batch不同訓練例項激發的啟用值。劃定集合S的範圍後，Normalization的具體計算過程與前文所述計算過程一樣，採用公式3即可完成規範化操作。
3.2、CNN網路中的BN
瞭解了前向神經網路中的BatchNorm ，接下來介紹CNN中的BatchNorm，讀者可以先自行思考下如果由你來主導設計，在CNN中究竟應該如何確定神經元集合S的勢力範圍。
我們知道，常規的CNN一般由卷積層、下采樣層及全連線層構成。全連線層形式上與前向神經網路是一樣的，所以可以採取前向神經網路中的BatchNorm方式，而下采樣層本身不帶引數所以可以忽略，所以CNN中主要關注卷積層如何計算BatchNorm。
圖7. CNN中的卷積核CNN中的某個卷積層由m個卷積核構成，每個卷積核對三維的輸入（通道數*長*寬）進行計算，啟用及輸出值是個二維平面（長*寬），對應一個輸出通道（參考圖7），由於存在m個卷積核，所以輸出仍然是三維的，由m個通道及每個通道的二維平面構成。
圖8. CNN中的BatchNorm過程
那麼在卷積層中，如果要對通道啟用二維平面中某個啟用值進行Normalization操作，怎麼確定集合S的範圍呢？
圖8給出了示意圖。類似於前向神經網路中的BatchNorm計算過程，對於Mini-Batch訓練方法來說，反向傳播更新梯度使用Batch中所有例項的梯度方向來進行，所以對於CNN某個卷積層對應的輸出通道k來說，假設某個Batch包含n個訓練例項，那麼每個訓練例項在這個通道k都會產生一個二維啟用平面，也就是說Batch中n個訓練例項分別透過同一個卷積核的輸出通道k的時候產生了n個啟用平面。假設啟用平面長為5，寬為4，則啟用平面包含20個啟用值，n個不同例項的啟用平面共包含20*n個啟用值。那麼BatchNorm的集合S的範圍就是由這20*n個同一個通道被Batch不同訓練例項激發的啟用平面中包含的所有啟用值構成（對應圖8中所有標為藍色的啟用值）。
劃定集合S的範圍後，啟用平面中任意一個啟用值都需進行Normalization操作，其Normalization的具體計算過程與前文所述計算過程一樣，採用公式3即可完成規範化操作。這樣即完成CNN卷積層的BatchNorm轉換過程。
圖9. CNN中Batch Norm的另外一種角度的理解描述起來似乎有些複雜，但是從概念上，其實可以把CNN中的卷積層想象成前向神經網路中的一個隱層，然後把對應的某個卷積核想象成MLP隱層中的一個神經元節點，無非其輸出是個二維啟用平面而不像MLP的神經元輸出是一個啟用值，另外一個不同是這個神經元覆蓋的輸入部分不同，CNN的卷積核是區域性覆蓋輸入，透過滑動視窗來實現輸入的全覆蓋，而MLP的神經元則是一步到位全域性覆蓋輸入而已(參考圖9示意)。如果從這個角度思考CNN和MLP中的BatchNorm話，其實兩者的做法是一致的。
從理論上講，類似的BatchNorm操作也可以應用在RNN上，事實上也有不少研究做了嘗試，但是各種實驗證明其實這麼做沒什麼用，所以本文就不展開講RNN中的BN了。
BatchNorm目前基本已經成為各種網路（RNN除外）的標配，主要是因為效果好，比如可以加快模型收斂速度，不再依賴精細的引數初始化過程，可以調大學習率等各種方便，同時引入的隨機噪聲能夠起到對模型引數進行正則化的作用，有利於增強模型泛化能力。
但是，BatchNorm這麼好用的大殺器，仍然存在很多問題。
3.3、Batch Norm的四大罪狀
侷限1：如果Batch Size太小，則BN效果明顯下降。
BN是嚴重依賴Mini-Batch中的訓練例項的，如果Batch Size比較小則任務效果有明顯的下降。那麼多小算是太小呢？圖10給出了在ImageNet資料集下做分類任務時，使用ResNet的時候模型效能隨著BatchSize變化時的效能變化情況，可以看出當BatchSize小於8的時候開始對分類效果有明顯負面影響。之所以會這樣，是因為在小的BatchSize意味著資料樣本少，因而得不到有效統計量，也就是說噪音太大。這個很好理解，這就類似於我們國家統計局在做年均收入調查的時候，正好把你和馬雲放到一個Batch裡算平均收入，那麼當你為下個月房租發愁之際，突然聽到你所在組平均年薪1億美金時，你是什麼心情，那小Mini-Batch裡其它訓練例項就是啥心情。
侷限2：對於有些畫素級圖片生成任務來說，BN效果不佳；
對於圖片分類等任務，只要能夠找出關鍵特徵，就能正確分類，這算是一種粗粒度的任務，在這種情形下通常BN是有積極效果的。但是對於有些輸入輸出都是圖片的畫素級別圖片生成任務，比如圖片風格轉換等應用場景，使用BN會帶來負面效果，這很可能是因為在Mini-Batch內多張無關的圖片之間計算統計量，弱化了單張圖片本身特有的一些細節資訊。
侷限3：RNN等動態網路使用BN效果不佳且使用起來不方便
對於RNN來說，儘管其結構看上去是個靜態網路，但在實際執行展開時是個動態網路結構，因為輸入的Sequence序列是不定長的，這源自同一個Mini-Batch中的訓練例項有長有短。對於類似RNN這種動態網路結構，BN使用起來不方便，因為要應用BN，那麼RNN的每個時間步需要維護各自的統計量，而Mini-Batch中的訓練例項長短不一，這意味著RNN不同時間步的隱層會看到不同數量的輸入資料，而這會給BN的正確使用帶來問題。假設Mini-Batch中只有個別特別長的例子，那麼對較深時間步深度的RNN網路隱層來說，其統計量不方便統計而且其統計有效性也非常值得懷疑。另外，如果在推理階段遇到長度特別長的例子，也許根本在訓練階段都無法獲得深層網路的統計量。綜上，在RNN這種動態網路中使用BN很不方便，而且很多改進版本的BN應用在RNN效果也一般。
侷限4：訓練時和推理時統計量不一致
對於BN來說，採用Mini-Batch內例項來計算統計量，這在訓練時沒有問題，但是在模型訓練好之後，線上推理的時候會有麻煩。因為線上推理或預測的時候，是單例項的，不存在Mini-Batch，所以就無法獲得BN計算所需的均值和方差，一般解決方法是採用訓練時刻記錄的各個Mini-Batch的統計量的數學期望，以此來推算全域性的均值和方差，線上推理時採用這樣推匯出的統計量。雖說實際使用並沒大問題，但是確實存在訓練和推理時刻統計量計算方法不一致的問題。
上面所列BN的四大罪狀，表面看是四個問題，其實深入思考，都指向了幕後同一個黑手，這個隱藏在暗處的黑手是誰呢？就是BN要求計算統計量的時候必須在同一個Mini-Batch內的例項之間進行統計，因此形成了Batch內例項之間的相互依賴和影響的關係。如何從根本上解決這些問題？一個自然的想法是：把對Batch的依賴去掉，轉換統計集合範圍。在統計均值方差的時候，不依賴Batch內資料，只用當前處理的單個訓練資料來獲得均值方差的統計量，這樣因為不再依賴Batch內其它訓練資料，那麼就不存在因為Batch約束導致的問題。在BN後的幾乎所有改進模型都是在這個指導思想下進行的。
但是這個指導思路儘管會解決BN帶來的問題，又會引發新的問題，新的問題是：我們目前已經沒有Batch內例項能夠用來求統計量了，此時統計範圍必須侷限在一個訓練例項內，一個訓練例項看上去孤零零的無依無靠沒有組織，怎麼看也無法求統計量，所以核心問題是對於單個訓練例項，統計範圍怎麼算？
4、Layer Normalization、Instance Normalization及Group Normalization
4.1、Layer Normalization
為了能夠在只有當前一個訓練例項的情形下，也能找到一個合理的統計範圍，一個最直接的想法是：MLP的同一隱層自己包含了若干神經元；同理，CNN中同一個卷積層包含k個輸出通道，每個通道包含m*n個神經元，整個通道包含了k*m*n個神經元；類似的，RNN的每個時間步的隱層也包含了若干神經元。那麼我們完全可以直接用同層隱層神經元的響應值作為集合S的範圍來求均值和方差。這就是Layer Normalization的基本思想。圖11、圖12和圖13分示了MLP、CNN和RNN的Layer Normalization的集合S計算範圍，因為很直觀，所以這裡不展開詳述。
圖11. MLP中的LayerNorm
圖12. CNN中的LayerNorm
圖13. RNN中的LayerNorm前文有述，BN在RNN中用起來很不方便，而Layer Normalization這種在同隱層內計算統計量的模式就比較符合RNN這種動態網路，目前在RNN中貌似也只有LayerNorm相對有效，但Layer Normalization目前看好像也只適合應用在RNN場景下，在CNN等環境下效果是不如BatchNorm或者GroupNorm等模型的。從目前現狀看，動態網路中的Normalization機制是非常值得深入研究的一個領域。
4.2、Instance Normalization
從上述內容可以看出，Layer Normalization在拋開對Mini-Batch的依賴目標下，為了能夠統計均值方差，很自然地把同層內所有神經元的響應值作為統計範圍，那麼我們能否進一步將統計範圍縮小？對於CNN明顯是可以的，因為同一個卷積層內每個卷積核會產生一個輸出通道，而每個輸出通道是一個二維平面，也包含多個啟用神經元，自然可以進一步把統計範圍縮小到單個卷積核對應的輸出通道內部。圖14展示了CNN中的Instance Normalization，對於圖中某個卷積層來說，每個輸出通道內的神經元會作為集合S來統計均值方差。對於RNN或者MLP，如果在同一個隱層類似CNN這樣縮小範圍，那麼就只剩下單獨一個神經元，輸出也是單值而非CNN的二維平面，這意味著沒有形成集合S，所以RNN和MLP是無法進行Instance Normalization操作的，這個很好理解。
圖14 CNN中的Instance Normalization我們回想下圖8代表的CNN中的Batch Normalization，可以設想一下：如果把BN中的Batch Size大小設定為1，此時和Instance Norm的圖14比較一下，是否兩者是等價的？
也就是說，看上去Instance Normalization像是Batch Normalization的一種Batch Size=1的特例情況。但是仔細思考，你會發現兩者還是有區別的，至於區別是什麼讀者可自行思考。
Instance Normalization對於一些圖片生成類的任務比如圖片風格轉換來說效果是明顯優於BN的，但在很多其它影像類任務比如分類等場景效果不如BN。
4.3、Group Normalization
從上面的Layer Normalization和Instance Normalization可以看出，這是兩種極端情況，Layer Normalization是將同層所有神經元作為統計範圍，而Instance Normalization則是CNN中將同一卷積層中每個卷積核對應的輸出通道單獨作為自己的統計範圍。那麼，有沒有介於兩者之間的統計範圍呢？通道分組是CNN常用的模型最佳化技巧，所以自然而然會想到對CNN中某一層卷積層的輸出或者輸入通道進行分組，在分組範圍內進行統計。這就是Group Normalization的核心思想，是Facebook何凱明研究組2017年提出的改進模型。
圖15展示了CNN中的Group Normalization。理論上MLP和RNN也可以引入這種模式，但是還沒有看到相關研究，不過從道理上考慮，MLP和RNN這麼做的話，分組內包含神經元太少，估計缺乏統計有效性，猜測效果不會太好。
圖15. CNN中的Group NormalizationGroup Normalization在要求Batch Size比較小的場景下或者物體檢測／影片分類等應用場景下效果是優於BN的。
4.4、用一個故事來總結
為了能夠更直觀地理解四種Normalization的異同，大家可以體會下面的故事以做類比：
很久很久以前，在遙遠的L國內有一個神奇的理髮館，理髮館裡面有很多勤勞的理髮師，來這裡理髮的顧客也很奇特，他們所有人都會要求理髮師（神經元）理出和其他人差不多長的頭髮（求均值）。那麼和其他人差不多長究竟是多長呢？這可難不倒我們可愛又聰明的理髮師，於是理髮師把自己最近24個小時服務過的顧客（Mini-Batch）進入理髮店時的頭髮長度求個平均值，這個均值就是“和其他人差不多長”的長度。來這裡的每個顧客都很滿意，時間久了，人們尊稱這些理髮師為：BatchNorm理髮師。
不幸總是突然的，有一天，理髮館裡發生了一件怪事，所有理髮師的記憶只能維持1分鐘，他們再也記不住過去24小時中發生的事情了，自然也記不住過去服務客人的頭髮長度。但是每個顧客仍然要求剪出和其他人差不多長的頭髮長度，這可怎麼辦？聰明的理髮師們又想出了一個辦法：他們相互大聲報出同一時刻在理髮館裡自己手上客人的頭髮長度，每個理髮師就可以用這些人的頭髮長度均值作為滿足自己手上客人條件的長度。儘管這是一群得了失憶綜合證的理髮師，但是顧客對他們的服務仍然非常滿意，於是人們改稱他們為：LayerNorm理髮師。
不幸總是突然的，有一天，理髮館裡又發生了一件怪事，理髮師們不僅得了失憶症，這次都突然失聰，再也聽不到其它理髮師的口頭通知，而固執的客人仍然堅持要理出“和其他人差不多長”的頭髮。對了，忘了介紹了，理髮館是有隔間的，每個隔間有K個理髮師同時給顧客理髮，雖然我們可愛又聰明的理髮師現在失憶又失聰，但是再大的困難也難不倒也叫不醒這群裝睡的人，他們醒來後群策群力又發明了一個新方法：同一個隔間的理髮師透過相互打手勢來通知其它理髮師自己手上顧客的頭髮長度。於是同一個隔間的理髮師又可以剪出顧客滿意的頭發了。人們稱這些身殘志堅的理髮師為：GroupNorm理髮師。
不幸總是突然的，有一天，理髮館裡又發生了一件怪事，不過這次不是天災是人禍，理髮館老闆出於好心，給每位理髮師單獨開個辦公室給顧客理髮，但是好心辦了壞事，這樣一來，失憶失聰又無法相互打手勢的理髮師們怎麼應對頑固的顧客呢？怎樣才能繼續理出“和其他人差不多長”的頭髮呢？想必一般人這個時候基本無路可走了，但是我們可愛又聰明，同時失聰又失憶的理髮師仍然想出瞭解決辦法：他們看了看客人頭上的頭髮，發現不同地方有長有短，於是就把同一個客人所有頭髮的平均長度作為難題的答案（CNN的InstanceNorm）。聽起來這個解決方案匪夷所思，但是出人意料的是，有些客人居然仍然非常滿意。人們管這些傳說中的神奇理髮師為：InstanceNorm理髮師。
5、Normalization操作的Re-Scaling不變性
我們知道，當神經網路深度加深時，訓練有較大困難，往往其原因在於隨著網路加深，在反向傳播訓練模型時，存在梯度爆炸或者梯度消失問題，Loss資訊不能有效傳導到低層神經網路引數，所以導致引數無法更新，模型無法收斂或者收斂速度慢。而很多環節可能導致梯度爆炸或者梯度消失問題，比如非線性函式及其導數是什麼形式以及網路引數是否過大過小等，以非線性函式來說，比如RELU是能極大緩解這個問題的（因為它的導數是個常數），這也是為何目前RELU大行其道的根本原因。從神經網路引數角度看，如果神經網路中的引數具備Re-Scaling 不變性，意味著引數值過大或者過小對神經元輸出沒什麼影響，無疑這對緩解梯度爆炸或者梯度消失也有極大幫助作用，而Normalization確實具備幾個不同角度的Re-Scaling不變性，這也許是Normalization為何應用在深度學習有效的原因之一，雖然可能並非本質原因。本節即講述Normalization為何具備Re-Scaling 不變性這種優良特性。
我們考慮神經網路中的三種Re-Scaling情形：權重向量（Weight Vector）Re-Scaling，資料Re-Scaling和權重矩陣（Weight Matrix）Re-Scaling。
圖16. 權重向量Re-Scaling對於網路中某個神經元i來說，其對應的邊權重向量假設為
，所謂權重向量（Weight Vector）Re-Scaling，就是將
乘上一個縮放因子
，如果神經元i在進行權重向量 Re-Scaling之前和之後兩種不同情況下做Normalization操作，若Normalization之後神經元i對應的啟用值沒發生變化，我們就說這種Normalization具備權重向量Re-Scaling不變性（參考圖16）。
圖17. 資料Re-Scaling所謂資料Re-Scaling，指的是把輸入X乘上一個縮放因子
，同樣的，如果對輸入做縮放前後兩種情況下進行Normalization操作，若Normalization之後所有隱層神經元對應的啟用值沒發生變化，我們說這種Normalization具備資料Re-Scaling不變性（參考圖17）。
圖18. 權重矩陣 Re-Scaling而權重矩陣 Re-Scaling指的是：對於某兩個隱層（L層vs L+1層）之間的所有邊的權重引數
同時乘上相同的縮放因子
，如果在權重矩陣 Re-Scaling之前和之後兩種情形下對(L+1)層隱層神經元做Normalization操作，若兩種情況下隱層所有神經元啟用值沒有變化，我們說這種Normalization具備權重矩陣 Re-Scaling不變性（參考圖18）。
在瞭解了三種Re-Scaling的含義及Normalization對應的三種不變性特性後，我們先歸納各種Normalization操作所對應的三種Re-Scaling的不變性特性如下表所示（Layer Normalization原始論文分析了LayerNorm及BatchNorm的Re-Scaling不變性，本文作者補充了InstanceNorm及GroupNorm的情況以及細化了推導過程）：
由表中可見，這四種不同的Normalization操作都同時具備權重矩陣Re-Scaling不變性和資料Re-Scaling不變性，但是不同的操作在權重向量Re-Scaling不變性這方面有差異，Batch Norm和Instance Norm具備權重向量Re-Scaling不變性，而另外兩種Normalization不具備這個特性。
我們以Batch Normalization為例來說明為何BN具備權重向量Re-Scaling不變性。
對於某個神經元i的啟用a來說，其值為：
（對於MLP和CNN來說，是一樣的，都是這個公式，區別在於CNN是區域性連線，MLP是全域性連線，也就是說只有的數量規模不同而已。）
其中，是與神經元i相連的邊權重向量（Weight Vector），X是輸入資料或是多層網路中前一層的輸出向量，
是偏置。我們可以把偏置看作輸入資料值為1的特殊邊的權重，所以可以併入前項，簡寫上述公式為：
現在假設我們開始re-scale邊權重向量，使得這些邊的權重縮放因子為
，其對應的新的啟用得到相同的縮放比例：
而邊的權重縮放後對應的均值變為：
也就是說均值也被同比例縮放，這裡的關鍵是因為BN的統計量取值範圍是來自於同一個Mini-Batch的例項，所以經過的是用一個神經元，於是對應了相同的邊權重向量，那麼縮放因子相同，就可以提到求和公式之外。
類似的，如果我們忽略噪音因子，邊權重縮放後對應的方差變為：
可見方差也被同比例縮放，因為：
這是為何說BN具備權重向量Re-Scaling不變性的原因。
類似的，BN也具備資料Re-Scaling不變性，其推導過程與上述推導過程基本一樣。因為如果將原始輸入X乘以縮放因子，等價於某個神經元i的啟用變為
其餘推導類似上述的權重向量ReScaling的後續推導過程，其對應的均值和方差也會同比例縮放，於是得到了BN的資料Re-Scaling不變性。
同樣的，很容易推出BN也具備權重矩陣Re-Scaling不變性，因為權重矩陣中所有邊權重會使用相同的縮放因子 ，意味著某個隱層所有神經元對應的權重向量都使用相同的縮放因子，而在進行BN操作時，同隱層內的神經元相互獨立沒什麼關係，因為上面推導了對於某個神經元i來說，其具備權重向量Re-Scaling不變性,所以對於所有隱層神經元來說，整個權重矩陣縮放後，任意神經元的啟用與未縮放時相同，所以BN具備權重矩陣Re-Scaling不變性。
對於其它三類Normalization，也就是Layer Norm／Instance Norm/Group Norm來說，都同時具備權重矩陣 Re-Scaling不變性及資料Re-Scaling不變性，推導過程也與上述推導過程類似，此處不贅述。
那麼為何Layer Norm不具備權重向量Re-Scaling不變性呢？因為Layer Norm是在同隱層的神經元之間求統計量，我們考慮一種比較極端的情況，假設MLP的隱層只包含兩個神經元：神經元i和神經元j，而神經元i對應的邊權重向縮放因子是
，神經元j對應的邊權重向量
縮放因子是
。於是得出各自經過縮放後的啟用值為：
對應的縮放後的均值為：
均值是無法提出公共縮放因子的，類似的方差也提不出公共縮放因子，所以不具備權重向量Re-Scaling不變性。那這又是為什麼呢？根本原因是要進行求統計量計算的範圍不是同一個神經元，而是不同的神經元，而每個神經元對應權重向量縮放因子不同，所以難以抽出公共縮放因子並相互抵消。除非同一隱層所有隱層神經元共享相同的縮放因子，這個情形其實就是權重矩陣 Re-Scaling能夠滿足的條件，所以可以看出Layer Norm具備權重矩陣 Re-Scaling不變性而不具備權重向量Re-Scaling不變性。Group Norm也是類似情況。
6、Batch Normalization為何有效
正如上文所述，BN在提出後獲得了巨大的成功，目前在各種深度學習場景下廣泛應用，因為它能加快神經網路收斂速度，不再依賴精細的引數初始化過程，可以使用較大的學習率等很多好處，但是我們應該意識到，所講的這些好處僅僅是引用BN帶來的結果，那麼更深層次的問題是：為什麼BN能夠給深度學習帶來如此多的優點呢？它背後起作用的深層原因是什麼呢？上文儘管從Normalization操作的Re-Scaling不變性角度有所說明，但其實還有更深層或更本質的原因。
原始的BN論文給出的解釋是BN可以解決神經網路訓練過程中的ICS（Internal Covariate Shift）問題，所謂ICS問題，指的是由於深度網路由很多隱層構成，在訓練過程中由於底層網路引數不斷變化，導致上層隱層神經元啟用值的分佈逐漸發生很大的變化和偏移，而這非常不利於有效穩定地訓練神經網路。
圖19. BN和ICS問題的關係
但是能夠解決ICS問題其實並不是BN為何有效背後真正的原因，最近有一些研究對此作了探討。那麼ICS問題真實存在嗎？ICS問題在較深的網路中確實是普遍存在的，但是這並非導致深層網路難以訓練的根本原因。另外，BN解決了ICS問題了嗎？其實也沒有。實驗一方面證明：即使是應用了BN，網路隱層中的輸出仍然存在嚴重的ICS問題；另一方面也證明了：在BN層輸出後人工加入噪音模擬ICS現象，並不妨礙BN的優秀表現（參考圖19）。這兩方面的證據互相佐證來看的話，其實側面說明了BN和ICS問題並沒什麼關係。
圖20. 損失曲面
那麼BN有效的真正原因到底是什麼呢？這還要從深度網路的損失曲面（Loss Surface）說起，在深度網路疊加大量非線性函式方式來解決非凸複雜問題時，損失曲面形態異常複雜，大量空間坑坑窪窪相當不平整（參考圖20），也有很多空間是由平坦的大量充滿鞍點的曲面構成，訓練過程就是利用SGD在這個複雜平面上一步一步遊走，期望找到全域性最小值，也就是曲面裡最深的那個坑。所以在SGD尋優時，在如此複雜曲面上尋找全域性最小值而不是落入區域性最小值或者被困在鞍點動彈不得，可想而知難度有多高。
有了損失曲面的基本概念，我們回頭來看為何BN是有效的。研究表明，BN真正的用處在於：透過上文所述的Normalization操作，使得網路引數重整（Reparametrize），它對於非線性非凸問題複雜的損失曲面有很好的平滑作用，引數重整後的損失曲面比未重整前的引數損失曲面平滑許多。我們可以用L-Lipschitz函式來評估損失曲面的平滑程度，L-Lipschitz函式定義如下：
含義也很直觀，對於定義區間內的任意取值和
，用它們的距離去和經過函式對映後的值（就是深度網路表達的損失函式）的距離進行比較，如果存在值L滿足上述公式條件，也就是說函式對映後的距離一定在任意兩個x差值的L倍以內，那麼這個函式稱為L-Lipschitz函式。而L的大小代表了函式曲面的平滑程度，很明顯，L越小曲面越平滑，L越大，則曲面越凹凸不平，時而高峰時而波谷不斷顛倒跳躍。舉個例子，假設你一出門邁出一步才1米
就突然掉到一個100米深的深溝
那麼要滿足公式條件，L最小得是100；而假設你一出門邁出一步踏上了一個0.3米的小臺階
那麼L最小等於0.3即可。
圖21. 帶BN與不帶BN操作的L-Lipschitz情況
圖21展示了用L-Lipschitz函式來衡量採用和不採用BN進行神經網路訓練時兩者的區別，可以看出未採用BN的訓練過程中，L值波動幅度很大，而採用了BN後的訓練過程L值相對比較穩定且值也比較小，尤其是在訓練的初期，這個差別更明顯。這證明了BN透過引數重整確實起到了平滑損失曲面及梯度的作用。
前文提到了Normalization對引數的Re-Scaling不變性，這也是引數重整達到的效果之一，所以也許其Re-Scaling特性和Loss曲面平滑作用是Normalization的一體兩面，共同發揮作用或者其實本身是一回事。事實的真相很可能是：Normalization透過對啟用值進行正態分佈化的引數重整，產生引數Re-Scaling不變的效果，因此緩解梯度消失或梯度爆炸問題，與其對應的重整後的損失曲面及梯度也因此變得更平滑，更有利於SGD尋優找到問題好的解決方案。當然這只是本文作者根據幾方面研究現狀做出的推測，目前並沒有相關實證研究，還請讀者謹慎對待此觀點。
7、結束語
本文歸納了目前深度學習技術中針對神經元進行Normalization操作的若干種模型，可以看出，所有模型都採取了類似的步驟和過程，將神經元的啟用值重整為均值為0方差為1的新數值，最大的不同在於計算統計量的神經元集合S的劃分方法上。BN採用了同一個神經元，但是來自於Mini-Batch中不同訓練例項導致的不同啟用作為統計範圍。而為了克服Mini-Batch帶來的弊端，後續改進方法拋棄了Mini-Batch的思路，只用當前訓練例項引發的啟用來劃分集合S的統計範圍，概括而言，LayerNorm採用同隱層的所有神經元；InstanceNorm採用CNN中卷積層的單個通道作為統計範圍，而GroupNorm則折衷兩者，採用卷積層的通道分組，在劃分為同一個分組的通道內來作為通道範圍。
至於各種Normalization的適用場景，可以簡潔歸納如下：對於RNN的神經網路結構來說，目前只有LayerNorm是相對有效的；如果是GAN等圖片生成或圖片內容改寫型別的任務，可以優先嚐試InstanceNorm；如果使用場景約束BatchSize必須設定很小，無疑此時考慮使用GroupNorm；而其它任務情形應該優先考慮使用BatchNorm。
看上去其實Normalization的各種改進模型思路都很直觀，問題是：還有其它劃分集合S的方法嗎？很明顯還有很多種其它方法，建議讀者可以仔細思考下這個問題，如果你能找到一種新的集合劃分方法且證明其有效，那麼恭喜你，這意味著你找到了一種新的Normalization模型。還等什麼，趕緊去發現它們吧。
參考文獻：
Sergey Ioffe etc. Batch Normalization: Accelerating Deep Network Training by Reducing Internal Covariate Shift. 2015.
Jimmy Lei Ba etc. Layer Normalization. 2016.
Dmitry Ulyanov etc. Instance Normalization: The Missing Ingredient for Fast Stylization. 2016.
Yuxin Wu etc. Group Normalization.2018.
Tim Salimans etc. Weight Normalization: A Simple Reparameterization to Accelerate Training of Deep Neural Networks.2016.
Shibani Santurkar etc. How Does Batch Normalization Help Optimization? 2018.
Johan Bjorck etc. Understanding Batch Normalization. 2018