題意簡述
有一棵樹 \(n\) 個點，你有一個門，你現在從一個你選定的點開始走，目標是所有點都至少訪問一次。每次你可以選擇：
- 經過一條樹邊走到相鄰點，花費 \(1\)。
- 將門放在當前點。
- 將自己傳送到門所在的點。
求最小花費。\(n\le 2\times10^5\)。
分析
先考慮根（出發點）固定怎麼做。
由於放門沒有任何代價，我們可以視為在正常行走時隨身把門也帶上。正常情況下我們肯定是訪問完一個子樹後進入另一個子樹繼續訪問，而顯然門的位置一定在子樹的祖先上，所以子樹之間的花費相互獨立。
再發現一個比較重要的性質：一個子樹內若門在子樹祖先上，則傳送技能僅會使用至多一次。
證明：若使用兩次以上，證明該點和門點之間的邊要走兩遍，那麼我們將門放在該點上，該點和門點之間的邊也要走兩遍，但遍歷該子樹的代價不會變劣。
由此考慮樹形 dp，設 \(f_{i,0/1}\) 表示走完 \(i\) 子樹內的所有點，是否需要返回根節點的最小花費（注意原題中也無需返回出發點），轉移：
- 令 \(g_u\) 表示 \(u\) 子樹中離 \(u\) 距離最遠的點的距離。
- 令 \(t_u=2\cdot(siz_u-1)-g_u\)，表示在走 \(u\) 子樹時門在 \(u\) 的祖先上時走完 \(u\) 子樹且不返回根節點的最小花費，\(2\cdot(siz_u-1)\) 表示走完 \(u\) 子樹且返回根節點的最小花費，若不返回根節點，肯定要儘可能的少走，我們貪心的選離 \(u\) 和離其最遠的點這條鏈少走一遍，則減掉 \(g_u\)。
- \(f_{x,1}=\sum_{u\in x}\min(f_{u,1}+2,t_u+1)\)，表示對於 \(x\) 的每個子樹 \(u\)，遍歷 \(u\) 子樹可以選擇把門給 \(u\)，然後該邊（指 \(u\) 和 \(x\) 之間的邊，下同）一進一出花費 \(2\)，即 \(f_{u,1}+2\)；也可以在該子樹內選擇使用傳送技能，則門留在 \(x\)，無需返回 \(u\)，且該邊一進不出花費 \(1\)，即 \(t_u+1\)。
- \(f_{x,0}=f_{x-1}-\max_{u\in x}(\min(f_{u,0}+1,t_u+1)-\min(f_{u,1}+2,t_u+1))\)，由於不回根節點，肯定終點會落在恰好一個子樹內，則該子樹無需返回根節點，其他子樹需要返回根節點，考慮列舉這個子樹，則在回根節點的基礎上，減掉原來的貢獻，加上新的貢獻，即，可以選擇把門留下（花費仍是 \(t_u+1\)），也可以把門給 \(u\)，該邊一進不出花費 \(1\)，即 \(f_{u,0}+1\)。
再考慮根不固定的情況，有了樹形 dp 式子，直接換根即可。
簡述換根流程：
- 計算以該點為根時的答案。
- 列舉子樹，刪掉子樹的貢獻（若是取最值可以同時保留次值，若最值是該子樹貢獻的則減掉最值加上次值），遞迴進子樹。
程式碼
注意程式碼中的 \(t_x\) 和題解中的 \(t_x\) 定義有略微不同。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<set>
#include<ctime>
#include<random>
#include<cassert>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0);
#define OTIE cout.tie(0);
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P0 puts("0")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define popc __builtin_popcount
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);++a)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);--a)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=(d))
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=(d))
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define lson(x) (x<<1)
#define rson(x) (x<<1|1)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
//#define double long double
#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
typedef long long i64;
using pii=pair<int,int>;
bool greating(int x,int y){return x>y;}
bool greatingll(long long x,long long y){return x>y;}
inline int rd(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
inline void write(int x,char ch='\0'){
if(x<0){x=-x;putchar('-');}
int y=0;char z[40];
while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=2e5+5,maxm=4e5+5,inf=0x3f3f3f3f;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n;
vector<int>Graph[maxn];
int f[maxn][2],g[maxn],t[maxn];
int F[maxn][2],G[maxn],T[maxn];
int siz[maxn];
int ans;
void dfs1(int x,int y){
// printf("Visit vertex %lld\n",x);
siz[x]=1;
for(int u:Graph[x])if(u^y){
dfs1(u,x),siz[x]+=siz[u];
g[x]=max(g[x],g[u]+1);
f[x][1]+=min(f[u][1]+2,t[u]);
}
f[x][0]=f[x][1];
for(int u:Graph[x])if(u^y){
f[x][0]=min(f[x][0],f[x][1]-min(f[u][1]+2,t[u])+min(f[u][0]+1,t[u]));
}
t[x]=2*(siz[x]-1)-g[x]+1;
}
void dfs2(int x,int y){
if(y){
int sum=0,res=0;
for(int u:Graph[x])if(u^y)sum+=min(f[u][1]+2,t[u]);
sum+=min(F[y][1]+2,T[y]);
res=sum;
for(int u:Graph[x])if(u^y)res=min(res,sum-min(f[u][1]+2,t[u])+min(f[u][0]+1,t[u]));
res=min(res,sum-min(F[y][1]+2,T[y])+min(F[y][0]+1,T[y]));
ans=min(ans,res);
}
multiset<pii,greater<pii> >sf,sg;
for(int u:Graph[x])if(u^y){
sf.insert(mp(min(f[u][1]+2,t[u])-min(f[u][0]+1,t[u]),u));
sg.insert(mp(g[u]+1,u));
}
if(y){
sf.insert(mp(min(F[y][1]+2,T[y])-min(F[y][0]+1,T[y]),y));
sg.insert(mp(G[y]+1,y));
}
sf.insert(mp(0,0)),sg.insert(mp(0,0));
int rety=y?min(F[y][1]+2,2*(n-siz[x]-1)-G[y]+1):0;
for(int u:Graph[x])if(u^y){
F[x][1]=f[x][1]+rety-min(f[u][1]+2,2*(siz[u]-1)-g[u]+1);
auto fit=sf.begin(),git=sg.begin();
if(fit->se==u)++fit;
F[x][0]=F[x][1]-fit->fi;
if(git->se==u)++git;
G[x]=git->fi,T[x]=2*(n-siz[u]-1)-G[x]+1;
dfs2(u,x);
}
}
void solve_the_problem(){
n=rd();
rep(i,2,n){
int x=rd(),y=rd();
Graph[x].emplace_back(y),Graph[y].emplace_back(x);
}
dfs1(1,0);
// PU;rep(i,1,n)write(f[i][0],32),write(f[i][1],10);PU;
ans=f[1][0];
dfs2(1,0);
write(ans);
}
bool Med;
signed main(){
// freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
// fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
int _=1;while(_--)solve_the_problem();
}
/*
*/