P1173 [NOI2016] 網格
分討+建圖+點雙
分析一下替換個數的上界，發現最多為 \(2\)，因為最壞情況下，也仍存在一個位置只有兩個出去的方向（即邊緣），堵住即可。
那麼現在答案就只有 \(-1\)、\(0\)、\(1\)、\(2\) 四種情況。分開討論：
\(-1\)：當圖中只有一個跳蚤或者只有兩隻跳蚤連在一起時
\(0\)：圖本身不連通
\(1\)：圖中有割點
\(2\)：除上面之外的情況
那麼就有了這題的樸素做法，把網格上所有點連邊，特判一下 \(-1\)，再跑 tarjan 求割點即可。
考慮最佳化建圖。我們發現圖中很多點是不需要的，割點只會出現在角落或者蛐蛐旁邊。所以只需要加上這些點就行：
- 每個角落的四個點。
- 每個蛐蛐旁邊橫縱距離之差小於 \(2\) 的點。
- 每個蛐蛐所在行列的最左、最右、最上、最下點。
\(1\) 的情況顯然，\(2\) 是因為蛐蛐旁邊的點如果需要判斷割邊，需要加上第二層的點，\(3\) 是為了讓整幅圖連通，以防誤判 \(0\) 的情況。
然後這題難在建圖，步驟是先找出所有的點，分別按照第一關鍵字為行、列分別連邊。
前面的特判對於新圖仍然適用，\(-1\) 的情況對應新圖中的點 \(\le 1\)，以及新圖只有兩個點並且相連；\(0\) 即跑完 tarjan 沒有跑完所有點；\(1\) 為找到割邊。這幾個點比較隱晦，很難找到一個圖來 hack。
這樣子圖上的點就控制在 \(O(c)\) 的數量內。由於建圖需要排序所以複雜度 \(O(c\log c)\)。
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <array>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <bitset>
#define pii std::pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
typedef long long i64;
const i64 iinf = 0x3f3f3f3f, linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N = 3e6 + 10;
int T, n, m, c;
int tot, idx;
struct node {int x, y, id;} a[N];
bool cmp1(node a, node b) {
return a.x == b.x ? (a.y == b.y ? a.id < b.id : a.y < b.y) : a.x < b.x;
}
bool cmp2(node a, node b) {
return a.y == b.y ? a.x < b.x : a.y < b.y;
}
void adv(int x, int y, int dx, int dy) {
for(int i = -dx; i <= dx; i++) {
for(int j = -dy; j <= dy; j++) {
int sx = x + i, sy = y + j;
if(sx >= 1 && sx <= n && sy >= 1 && sy <= m) a[++tot] = {sx, sy, 0};
}
}
}
struct edge {
int to, nxt;
} e[N];
int cnt, h[N];
void add(int u, int v) {
e[++cnt].to = v;
e[cnt].nxt = h[u];
h[u] = cnt;
}
int t, dfn[N], low[N], cut, rt = 1;
void tarjan(int u) {
dfn[u] = low[u] = ++t;
int flg = 0;
for(int i = h[u]; i; i = e[i].nxt) {
int v = e[i].to;
if(!dfn[v]) {
tarjan(v);
low[u] = std::min(low[u], low[v]);
if(low[v] >= dfn[u]) {
flg++;
if(u != rt || flg > 1) cut++;
}
} else low[u] = std::min(low[u], dfn[v]);
}
}
void Solve() {
std::cin >> T;
while(T--) {
for(int i = 1; i <= idx; i++) dfn[i] = low[i] = h[i] = 0;
cnt = cut = t = tot = 0;
std::cin >> n >> m >> c;
for(int i = 1; i <= c; i++) {
int x, y;
std::cin >> x >> y;
adv(x, y, 2, 2);
adv(1, y, 0, 0), adv(n, y, 0, 0), adv(x, 1, 0, 0), adv(x, m, 0, 0);
a[++tot] = {x, y, -1};
}
adv(1, 1, 2, 2), adv(1, m, 2, 2), adv(n, 1, 2, 2), adv(n, m, 2, 2);
std::sort(a + 1, a + tot + 1, cmp1);
node now = {0, 0, 0};
int tot2 = 0;
for(int i = 1; i <= tot; i++) {
if(a[i].x != now.x || a[i].y != now.y) {
now = a[i], a[++tot2] = now;
}
}
tot = tot2;
idx = 0;
for(int i = 1; i <= tot; i++) if(a[i].id != -1) a[i].id = ++idx;
for(int i = 2; i <= tot; i++) {
if(a[i].x == a[i - 1].x && a[i].id != -1 && a[i - 1].id != -1) {
add(a[i].id, a[i - 1].id), add(a[i - 1].id, a[i].id);
}
}
std::sort(a + 1, a + tot + 1, cmp2);
for(int i = 2; i <= tot; i++) {
if(a[i].y == a[i - 1].y && a[i].id != -1 && a[i - 1].id != -1) {
add(a[i].id, a[i - 1].id), add(a[i - 1].id, a[i].id);
}
}
if(idx <= 1) {
std::cout << "-1\n";
continue;
}
tarjan(1);
if(idx == 2 && h[1]) {
std::cout << "-1\n";
} else if(t != idx) {
std::cout << "0\n";
} else {
std::cout << (cut ? 1 : 2) << "\n";
}
}
}
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(nullptr);
Solve();
return 0;
}