可以按照<Utopiosphere>的調唱出來 “Link-Cut ,Time doesn’t stop .Prepare your doubts ,Eat them up”
參考資料：
1.popoqqq課件
2.《QTREE 解法的一些研究 》
3.http://blog.csdn.net/clove_unique/article/details/50991804
一【理論知識】
- Link-Cut-Tree(簡稱LCT)是解決動態樹類問題一種資料結構
- Preferred Child：重兒子，重兒子與父親節點在同一棵Splay中，一個節點最多隻能有一個重兒子
- Preferred Edge：重邊，連線父親節點和重兒子的邊
- Preferred Path ：重鏈，由重邊及重邊連線的節點構成的鏈
Auxiliary Tree(輔助樹)
- 由一條重鏈上的所有節點所構成的Splay稱作這條鏈的輔助樹
- 每個點的鍵值為這個點的深度，即這棵Splay的中序遍歷是這條鏈從鏈頂到鏈底的所有節點構成的序列
- 輔助樹的根節點的父親指向鏈頂的父親節點，然而鏈頂的父親節點的兒子並不指向輔助樹的根節點
- （也就是說父親不認輕兒子只認重兒子，兒子都認父親）
- 這條性質為後來的操作提供了依據
原樹與輔助樹的關係
- 原樹中的重鏈 -> 輔助樹中兩個節點位於同一棵Splay中
- 原樹中的輕鏈 -> 輔助樹中子節點所在Splay的根節點的father指向父節點
- 注意原樹與輔助樹的結構並不相同
- 輔助樹的根節點≠原樹的根節點
- 輔助樹中的father≠原樹中的father
輔助樹是不斷變化的，重鏈和輕鏈不斷變化
二【實現】
LCT用到的Splay和通常的還是有點不同，沒有權值v，不進行查詢操作，點編號就是原樹的編號
因為是一個Splay森林，多條重鏈多個根，所以用isRoot(x)判斷是否為根，判斷isRoot(x)相當於判斷x的父親存不存在
rotate只是設定g的兒子時判斷isRoot(f)就行了
splay需要pushDown了(因為沒有kth了)，也是判斷isRoot(pa)
Access和Cut更新了兒子關係，所以需要update
Access
- 將一個點與原先的重兒子切斷，並使這個原樹上點到根路徑上的邊全都變為重邊
- 所以 這個節點到根的路徑上的所有節點形成了一棵Splay
- 便於操作或查詢節點到根路徑上的所有節點
實現：不斷把x splay到當前Atree的根，然後它的右子樹就是重兒子了，修改；用y輔助
注意：Access後x不一定為這顆Splay的根，因為中途x變fa了
維護了節點資訊別忘更新
MakeRoot
- 將x設為原樹的根
實現：Access後splay到根，然後全在x的左子樹上(權值是深度)，區間翻轉即可
FindRoot
- 找x所在原樹根，判連通性
實現：MakeRoot後不斷往左找(不需要pushDown？加上也可以啊。不加也對因為只是來判連通，判斷是不是在一棵原樹上，都不pushDown找到的還是同一個點吧)
Link
實現：MakeRoot(x)然後t[x].fa=y
Cut
實現：MakeRoot(x)然後Access(y) splay(y) ，x就在y的左兒子了，t[y].ch[0]=t[x].fa=0;
維護了節點資訊別忘更新
對x到y路徑上的點進行修改或查詢
只需要對x進行Move_To_Root操作，然後對y進行Access+Splay操作，那麼x到y路徑上的所有點都在以y為根的子樹上
因為Access後x和y重鏈在一棵Splay上，x深度比y小
三【模板】
[update 2017-04-05]
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> using namespace std; #define lc t[x].ch[0] #define rc t[x].ch[1] #define pa t[x].fa typedef long long ll; const int N=3e5+5; inline int read(){ char c=getchar();int x=0,f=1; while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();} while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();} return x*f; } namespace lct { struct meow{int ch[2], fa, rev, sum, w;} t[N]; inline int wh(int x) {return t[pa].ch[1] == x;} inline int isr(int x) {return t[pa].ch[0] != x && t[pa].ch[1] != x;} inline void update(int x) {t[x].sum = t[lc].sum ^ t[rc].sum ^ t[x].w;} inline void rever(int x) {t[x].rev ^= 1; swap(lc, rc);} inline void pushdn(int x) { if(t[x].rev) { if(lc) rever(lc); if(rc) rever(rc); t[x].rev = 0; } } void pd(int x) {if(!isr(x)) pd(pa); pushdn(x);} inline void rotate(int x) { int f=t[x].fa, g=t[f].fa, c=wh(x); if(!isr(f)) t[g].ch[wh(f)]=x; t[x].fa=g; t[f].ch[c] = t[x].ch[c^1]; t[t[f].ch[c]].fa=f; t[x].ch[c^1] = f; t[f].fa=x; update(f); update(x); } inline void splay(int x) { pd(x); for(; !isr(x); rotate(x)) if(!isr(pa)) rotate( wh(pa)==wh(x) ? pa : x ); } inline void access(int x) { for(int y=0; x; y=x, x=pa) splay(x), rc=y, update(x); } inline void maker(int x) { access(x); splay(x); rever(x); } inline int findr(int x) { access(x); splay(x); while(lc) pushdn(x), x=lc; return x; } inline void link(int x, int y) { maker(x); t[x].fa=y; } inline void cut(int x, int y) { maker(x); access(y); splay(y); t[x].fa = t[y].ch[0] = 0; update(y); } inline void split(int x, int y) { maker(x); access(y); splay(y); } } using lct::findr; int n, Q, op, x, y; int main() { freopen("in","r",stdin); n=read(); Q=read(); for(int i=1; i<=n; i++) lct::t[i].w = read(); for(int i=1; i<=Q; i++) { op=read(); x=read(); y=read(); if(op==0) lct::split(x, y), printf("%d\n", lct::t[y].sum); if(op==1) if(findr(x) != findr(y)) lct::link(x, y); if(op==2) if(findr(x) == findr(y)) lct::cut(x, y); if(op==3) lct::t[x].w = y, lct::splay(x); } }
四【一點好玩的東西】
1.LCT可做動態樹問題
2.LCT可做樹鏈剖分
3.LCT可做支援刪除邊的並查集(我太navie了.......並不能完全實現這個功能，是一顆樹啊啊啊)
4.LCT可做不用排序的Kruskal(動態加邊的最小生成樹)