【筆記】普通生成函式
0 前置芝士
0.1 等比數列
因為我不會，所以在這裡提一嘴。
\(a_i=a_{i-1}q\Rightarrow a_i=a_1q^{i-1}\)
\(S=\sum\limits_{i=1}^n a_i\Rightarrow qS=\sum\limits_{i=2}^{n+1}a_i=S-a_{n+1}+a_1\)
\(\Rightarrow S=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}\)
0.2 泰勒級數
若 \(f\) 在 \(x_0\) 處能被展成多項式的形式，那麼有：
\[F(x_0)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x-x_0)^{n}
\]
我們稱這個 \(F(x_0)\) 為 \(f\) 在 \(x_0\) 上的泰勒級數。
特別地，\(x_0=0\) 時，稱其為 \(f\) 的麥克勞林級數。
泰勒展開，本質就是用一個無限項的多項式去擬合一個函式。
1 定義
本質上她是一種形式的東西。
對於一個數列 \(a_i\)，定義她的 普通生成函式 (OGF) 為一個多項式 \(F(x)\)，滿足：
\[F(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}f_ix^i
\]
2 封閉形式
生成函式 和 封閉形式 的關係
一個封閉形式成立，當且
這個東西，實際上只有在 \(|x|<1\) 的時候，原多項式才收斂，且值與 封閉形式 相等。
如果只用關心多項式的係數（比如生成函式），封閉形式 可以理解成用有限的初等函式對無限項的多項式的簡寫。
2.1 常用的封閉形式
\[\begin{array}{ccc}
\text{數列}&\text{生成函式}&\text{封閉形式}&\\
\langle 1,1,1,1, \ldots\rangle & \sum\limits_{k=0}^{+\infty} x^{k} & \dfrac{1}{1-x} \\
\left\langle 1, c, c^{2}, c^{3}, \ldots\right\rangle & \sum\limits_{k=0}^{+\infty} c^{k} x^{k} & \dfrac{1}{1-c x} \\
\left\langle\left(\begin{array}{l}
n \\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
n \\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
n \\
2
\end{array}\right), \ldots,\left(\begin{array}{l}
n \\
n
\end{array}\right)\right\rangle & \sum\limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right) x^{k} & (1+x)^{n} \\
\left\langle 1, n,\left(\begin{array}{c}
n+1 \\
2
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
n+2 \\
3
\end{array}\right), \ldots\right\rangle & \sum\limits_{k=0}^{+\infty}\left(\begin{array}{c}
n+k-1 \\
k
\end{array}\right) x^{k} & \dfrac{1}{(1-x)^{n}} \\
\left\langle\left(\begin{array}{l}
0 \\
n
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
1 \\
n
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
2 \\
n
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
3 \\
n
\end{array}\right), \ldots\right\rangle & \sum\limits_{k=0}^{+\infty}\left(\begin{array}{l}
k \\
n
\end{array}\right) x^{k} & \dfrac{x^{n}}{(1-x)^{n+1}} \\
\left\langle\left(\begin{array}{l}
\alpha \\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
\alpha \\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
\alpha \\
2
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
\alpha \\
3
\end{array}\right), \ldots\right\rangle & \sum\limits_{k=0}^{+\infty}\left(\begin{array}{l}
\alpha \\
k
\end{array}\right) x^{k} & (1+x)^{\alpha} \\
\left\langle 0,1,-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{4}, \ldots\right\rangle & \sum\limits_{k=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{k+1}}{k} x^{k} & \ln (1+x) \\
\left\langle 0,1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \ldots\right\rangle & \sum\limits_{k=0}^{+\infty} \dfrac{1}{k} x^{k} & \ln \dfrac{1}{1-x} \\
\left\langle 1,1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{24}, \ldots\right\rangle & \sum\limits_{k=0}^{+\infty} \dfrac{1}{k !} x^{k} & e^{x}
\end{array}
\]