lg生成函式

生成函式

• 

考慮組合意義，即選 \(n\) 次每次選其中一個，選了 \(n_1\) 個 \(x_1\) 等等。

根據多重集排列數可得。

• 廣義二項式係數

注：這就是用下降冪定義的好處！

注： \(x,y\) 有一定條件，但是在 OI 題目中不必考慮。

• 上指標反轉

當上指標為負數的時候，這個式子可以把上指標變成正數。

直接展開容易證明

好玩的東西：多乘一個 \(\frac{1}{1-x}\) 可以做字首和，乘 \((1-x)\) 可以做差分。

• 幾個泰勒展開式

\[e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n \]

\[xe^x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n!}x^n \]

\[e^{Cx}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{Cn}{n!}x^n \]

\[\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}x^n \]

注意：在 OI 中，暫且認為他們都成立。

• 

生成函式賦予我們操作多項式的能力。

• 普通型生成函式 OGF

• 例子1 選物品

當然可以考慮令 \(f(i,j)\to\) [int：第i個物品，int：已經選了j個物品|方案數]

不過我們若對每個物品構造 OGF

OGF卷積的組合意義：在每個括號裡選一個合起來，其實就是列舉在其中一個物件中有幾個

• P10780 BZOJ3028 食物 - 洛谷

處理一下所有的 OGF，答案顯然為

\[{n+2\choose 3}=(n+2)(n+1)n/3! \]

• 指數型生成函式 EGF

關於乘上 \(i!\) 的用處：這樣我們就預設乘上一個分配標號的組合數 \({i+j\choose i}\) 此時我們會合並序列……

• 問題3 方格塗色

顯然應該對於紅藍兩色構造指數型生成函式其中只包含偶數次項，對於綠色的保護所有 \(n\) 項，然後乘起來。

• 放球

• 求遞推式的通項公式 Fib

令 \(F(x)=\sum f_ix^i\) ，有

\[F=\sum_{n=2}f_{n-1}x^n+\sum_{n=2}f_{n-2}x^n+1 \]

\[F(x)=\frac{1}{1-x-x^2}=(\frac{1}{\frac{1-\sqrt{5}}{2}x-1}-\frac{1}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1})\times\frac{1}{\sqrt{5}} \]

• 求 Catalan 數列的生成函式

• 還有別的組合意義嗎？只能用乘法？？？

替換前面的 \(x\)

• 多項式求逆

那麼存在

\[\sum_{i=0}^n A_iB_{n-i}=[n=0] \]

然後

• 多項式 ln/exp

\((x^a)'=ax^{a-1}\)

\((\ln x)'=\frac{1}x\)

\((e^x)'=e^x\)

先求導、按多項式乘法展開最後一項，然後得到遞推式。

• 序列計數

對什麼構建生成函式？應該注意其指數的含義。

設骨牌的生成函式，我們還不知道使用幾個骨牌，於是要列舉，此時轉化成封閉形式然後求逆。

• 基環樹計數

  肯定有一個環，然後列舉環的大小，此時根據 Cayley 定理，有標號有根樹有 \(n^{n-1}\) 個，然後匯入 EGF 進行計算，但是要注意環可以翻轉與旋轉，這是不算的。

然後變成封閉形式求個 ln。