今年多校比賽第一場遇到了高斯消元，不會，就學習了一下啊。

先說一下學習的部落格：

http://www.cppblog.com/menjitianya/archive/2014/06/08/207226.html

http://www.cnblogs.com/kuangbin/category/409938.html

http://hi.baidu.com/czyuan_acm/item/dce4e6f8a8c45f13d7ff8cda

高斯消元主要是解決線性方程組的係數。

演算法核心思想：
        對於n個方程，m個未知數的方程組，消元的具體步驟如下：
       1、列舉第i (0 <= i < n) 行，初始化列為col = 0，每次從[i, n)行中找到第col列中元素絕對值最大的行和第i行進行交換(找到最大的行是為了在消元的時候把浮點數的誤差降到最小)；
           a) 如果第col列的元素全為0，放棄這一列的處理，col+1，i不變，轉1)；
           b) 否則，對於所有的行j (i < j < n)，如果a[j][col]不為0，則需要進行消元，以期第i行以下的第col列的所有元素都消為0（這一步就是線性代數中所說的初等行變換，具體的步驟就是將第j行的所有元素減去第i行的所有元素乘上一個係數，這個係數即a[j][col] / a[i][col]）。
       2、重複步驟1) 直到n個方程列舉完畢或者列col == m。
       3、判斷解的情況：
           a) 如果出現某一行，係數矩陣全為0，增廣矩陣不全為0，則無解（即出現[0 0 0 0 0 b]，其中b不等於0的情況）；
           b) 如果是嚴格上三角，則表明有唯一解；
           c) 如果增廣矩陣有k (k > 0)行全為0，那麼表明有k個變數可以任意取值，這幾個變數即自由變數；對於這種情況，一般解的範圍是給定的，令解的取值有T個，自由變數有V個，那麼解的個數就是 TV。

有的時候需要求最小的解，那麼就要狀壓列舉變元，求最小的解。

下面總結一下，這幾天做的題目：

HDU 4870 Rating(概率dp+高斯消元)

多校聯合的題目，通過概率推公式之後得到一個矩陣然後，用高斯消元接出x[0],這是高斯消元解實數的題目在進行行變換的時候與整數不同，直接去掉倍數就行。還有就是高斯消元需要的精度比較高大約是1e-10左右。

 

POJ 2947 Widget Factory(取模的高斯消元)

高斯消元解決取模問題的題目，應為最後一列都進行了取模的操作，所以當你在解的時候，如果取餘不等於0，需要加上x個mod，使得可以整除。

POJ 2065 SETI(高斯消元)

給你一些素數，每次對不同的數取餘，其實就是看懂題意，然後一個解決取模問題就行了啊。

POJ 1222 EXTENDED LIGHTS OUT(高斯消元，開關問題)

開關問題，每個點可以和其他相鄰的點有關係，如果改動一個點會有其他的點跟著受影響。如果一個點和其他的點有關係他們之間的關係就是1，否則是0。終態是已經給你的，你通過建立的關係就會列出來一個30*30的方程組出來。然後解這個方程組，所得的解就是，開關需不需要動。這裡因為開關的狀態是隻有兩種0，1所以可以按照對2取餘來解決。

POJ 1166 The Clocks（高斯消元）

神奇的題目，有很多人暴力搞的。我是建完關係之後用的高斯消元，把找最大的交換改成找任意的交換，就過了。不知道為什麼。而且有一些人說這題是模4，不是素數會出現問題。

POJ 1830 開關問題(高斯消元)

題目就叫開關問題、、、根據題目建立關係，找出解的個數，如果會有多種解返回個數。無解返回-1.因為每自由元解可以取或不取兩種情況，所以共有2^k種解。

POJ 1753 Flip Game(列舉變元的高斯消元)

這道題目資料很小所以可以dfs，用高斯消元反而麻煩一些了啊。但是可以練習一下高斯消元。這道題目就是類似於開關問題，每個旗子影響其他的旗子。而且終態有兩種，全為0，或者全為1。但是這道題目要求輸出最少的操作，所以當遇到有多種解的時候你需要列舉一下每個變元，然後求出操作的次數，儲存一個操作次數最少的，輸出來。

 

POJ 3185 The Water Bowls(高斯消元，列舉變元)

和1753很像都需要列舉變元，解出來最少的操作次數。

HDU 3976 Electric resistance(高斯消元)

這道題目，上來就是電路圖啊，得根據KFC(節點電壓法)不是肯德基！通過節點的電流列出關係。然後解出來x[n-1]的結果。

SGU 200. Cracking RSA(高斯消元+高精度)

給出m個整數，因子全部存在於前t個素數。問有多少個子集，他們的乘積是平方數。這道題目感覺不簡單，而且思想很好，是個好題啊，標記一下，以後還得多看。

是的乘積是個平方數，那麼每一個質數的指數次對2取餘都是0。所以我們讓最後一列為0，然後解方程組，返回變元的個數所以解的組合有2^k - 1。去掉空集。

SGU 275. To xor or not to xor(高斯消元)

好題啊，而且不簡單啊。。。不好理解，看了老長時間才理解一點，智商不夠啊、、、

給你n個數字，讓你從n個數中，選擇一些數，使得異或最大。

要從最高位進行解，我們想要每一位儘可能的為1。所以判斷為1是否有解，如果有的話就加上。還有就是一點一點的解方程第一次解第0行，第二次解0~1行，依此類推、、、這樣可以使得最高位儘量的為1。

還得繼續做題，未完待續。。。。