何為堆？
堆是一種特殊的樹，只要滿足下面兩個條件，它就是一個堆：
（1）堆是一顆完全二叉樹；
（2）堆中某個節點的值總是不大於（或不小於）其父節點的值。
其中，我們把根節點最大的堆叫做大頂堆，根節點最小的堆叫做小頂堆。
堆詳解
滿二叉樹
滿二叉樹是指所有層都達到最大節點數的二叉樹。比如，下面這顆樹：
完全二叉樹
完全二叉樹是指除了最後一層其它層都達到最大節點數，且最後一層節點都靠左排列。比如，下面這顆樹：
可見，其實滿二叉樹是一種特殊的完全二叉樹。
那麼，使用什麼結構儲存完全二叉樹最節省空間呢？
我們可以看見，完全二叉樹的節點都是比較緊湊的，且只有最後一層是不滿的，所以使用陣列是最節省空間的，比如上面這顆完全二叉樹我們可以這樣儲存。
我們下標為0的位置不儲存元素，從下標為1的位置開始儲存元素，每層依次從左往右放到陣列裡來儲存。
為什麼下標0的位置不存在元素呢？
這是因為這樣儲存我們可以很方便地找到父節點，比如，4的父節點即4/2=2，5的父節點即5/2=2。
堆
堆也是一顆完全二叉樹，但是它的元素必須滿足每個節點的值都不大於（或不小於）其父節點的值。比如下面這個堆：
前面我們說過完全二叉樹適合使用陣列來儲存，那上面這個堆應該怎麼儲存呢？
同樣地，我們下標為0的位置不存在元素，最後就變成下面這樣。
這時候我們要找8的父節點就拿8的位置下標5/2=2，也就是5這個節點的位置，這也是為了我們後面堆化。
插入元素
往堆中插入一個元素後，我們需要繼續滿足堆的兩個特性，即：
（1）堆是一顆完全二叉樹；
（2）堆中某個節點的值總是不大於（或不小於）其父節點的值。
為了滿足條件（1），所以我們把元素插入到最後一層最後一個節點往後一位的位置，但是插入之後可能不再滿足條件（2）了，所以這時候我們需要堆化。
比如，上面那個堆我們需要插入元素2，我們把它放在9後面，這時不滿足條件（2）了，我們就需要堆化。（這是一個小頂堆）
將完全二叉樹和陣列對照著來看。
在完全二叉樹中，插入的節點與它的父節點相比，如果比父節點小，就交換它們的位置，再往上和父節點相比，如果比父節點小，再交換位置，直到比父節點大為止。
在陣列中，插入的節點與n/2位置的節點相比，如果比n/2位置的節點小，就交換它們的位置，再往前與n/4位置的節點相比，如果比n/4位置的節點小，再交換位置，直到比n/(2^x)位置的節點大為止。
這就是插入元素時進行的堆化，也叫自下而上的堆化。
從插入元素的過程，我們知道每次與n/(2^x)的位置進行比較，所以，插入元素的時間複雜度為O(log n)。
刪除堆頂元素
我們知道，在小頂堆中堆頂儲存的是最小的元素，這時候我們把它刪除會怎樣呢？
刪除了堆頂元素後，要使得還滿足堆的兩個特性，首先，我們可以把最後一個元素移到根節點的位置，這時候就滿足條件（1），之後就是使它滿足條件（2），就需要堆化了。
將完全二叉樹和陣列對照著來看。
在完全二叉樹中，把最後一個節點放到堆頂，然後與左右子節點中小的交換位置（因為是小頂堆），依次往下，直到其比左右子節點都小為止。
在陣列中，把最後一個元素移到下標為1的位置，然後與下標為2和3的位置對比，發現8比2大，且2是2和3中間最小的，所以與2交換位置；然後再下標為4和5的位置對比，發現8比5大，且5是5和7中最小的，所以與5交換位置，沒有左右子節點了，堆化結束。
這就是刪除元素時進行的堆化，也叫自上而下的堆化。
從刪除元素的過程，我們知道把最後一個元素拿到根節點後，每次與2n和(2n+1)位置的元素比較，取其小者，所以，刪除元素的時間複雜度也為O(log n)。
建堆
假定給定一組亂序的陣列，我們該怎麼建堆呢？
如下圖所示，我們模擬依次往堆中新增元素。
（1）插入6這個元素，只有一個，不需要比較；
（2）插入8這個元素，比6大，不需要交換；
（3）插入3這個元素，比下標3/2=1的位置上的元素6小，交換位置；
（4）插入2這個元素，比下標4/2=2的位置上的元素8小，交換位置，比下標2/2=1的位置上的元素3小，交換位置；
（5）...
（10）最後，全部插入完成，即完成了建堆的過程。
我們知道，完全二叉樹的高度h=log n，且第h層有1個元素，第(h-1)層有2個元素，第(h-2)層有2^2個元素，...，第1層有2^(h-1)個元素。
其實，建堆的整個過程中一個節點的比較次數是與它的高度k成正比的，比如，上圖中的1這個元素，它也是從最後一層依次比較了3次（高度h=4），才到達了現在的位置。
所以，我們可以得出第h層的元素有1個，它最多需要比較(h-1)次；第(h-1)層有2個元素，它們最多比較(h-2)次；第(h-2)層有2^2個元素，它們最多比較(h-3)次；...；第1層有2^(h-1)個元素，它們最多比較0次。
因而，總和就如下圖：
所以，建堆的時間複雜度就是O(n)。
堆排序
我們知道，對於小頂堆，堆頂儲存的元素就是最小的。
那麼，我們刪除堆頂元素，堆化，第二小的跑堆頂了，再刪除，再堆化，...，這些刪除的元素是不是正好有序的？
當然是的，所以堆排序的過程就很簡單了。
我們直接把堆頂的元素與第n個元素交換位置，再把前(n-1)個元素堆化，再把堆頂元素與第(n-1)個元素交換位置，再把前(n-2)個元素堆化，..，，進行下去，最後，陣列中的元素就整個變成倒序的了，也就排序完了。
我們知道刪除一個元素的時間複雜度是O(log n)，那麼刪除n個元素正好是：
log n + log(n-1) + log(n-2) + log 1
這個公式約等於nlog n，所以堆排序的時間複雜度為O(nlog n)。
而且，這樣排序不需要佔用額外的空間，只需要交換元素的需要一個臨時變數，所以堆排序的空間複雜度為O(1)。
總結
（1）堆是一顆完全二叉樹；
（2）小（大）頂堆中的每一個節點都不小於（不大於）它的父節點；
（3）堆的插入、刪除元素的時間複雜度都是O(log n)；
（4）建堆的時間複雜度是O(n)；
（5）堆排序的時間複雜度是O(nlog n)；
（6）堆排序的空間複雜度是O(1)；
彩蛋
堆都有哪些應用呢？
其實，堆除了堆排序以外，還有很多其它的用途，比如求中位數，99%位數，定時任務等。
比如，求中位數的大致思路，是分別建立一個大頂堆和一個小頂堆，然後往這兩個堆中放元素，當其中一個堆的元素個數比另外一個多2時，就平衡一下，這樣所有元素都放完之後，兩個堆頂的元素之一（或之二）就是中位數。
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