[乾貨] 線段樹知識點總結

專欄 | 九章演算法
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1. 線段樹入門問題

1.1 題目描述

給出數列[1 4 2 3],求給定區間的最大值
例:query(0,1) = 4 query(2,3) = 3 query(0,3) = 4**

1.2 解題思路分析

一道題可不可以用線段樹來做，基本是看這道題的操作有沒有區間的性質。也就是在一個區間上的操作是否可以轉化為兩個子區間上的操作。
從這題可以看出：

區間(a,b)的最大值和區間(b,c)的最大值中，取較大的就是區間(a,c)的最大值**複製程式碼

很明顯可以看出這個操作是具有區間的性質。

1.3 套路

幾種常見的線段樹的套路

1.求區間的和，積，最大值，最match小值，gcd等
2.以當前結點的值作為結點處理，比如給出N個數，再給一個數，問比這個數大的有多少個（當然，用樹狀陣列可以很好的處理，但有修改時，線段樹就會方便很多）
3.區間加減同一個值，或者區間同時賦一個值（在面試中，通常不會問到，演算法競賽中會經常用到）複製程式碼

2. 構造

一顆線段樹的構造就是根據區間的性質的來構造的

區間劃分大概就是上述的區間劃分。可以看出每次都將區間的長度一分為二,數列長度為n,所以線段樹的高度是log(n),這是很多高效操作的基礎。
上述的區間儲存的只是區間的左右邊界。我們可以將區間的最大值加入進來。

區間的第三維就是區間的最大值
加這一維的時候只需要在建完了左右區間之後，根據左右區間的最大值來更新當前區間的最大值即可。
因為每次將區間的長度一分為二,所有創造的節點個數為

   n + 1/2 * n + 1/4 * n + 1/8 * n + ...
=   (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) * n
=   2n複製程式碼

所以構造線段樹的時間複雜度和空間複雜度都為O(n)

2.1 程式碼1

線段樹構造程式碼模板

3. 區間查詢

構造線段樹的目的就是為了更快的查詢。

給定一個區間，要求區間中最大的值。
線段樹的區間查詢操作就是將當前區間分解為較小的子區間，然後由子區間的最大值就可以快速得到需要查詢區間的最大值。

query(1,3) = max(query(1,1),query(2,3)) = max(4,3) = 4

上述例子將(1,3)區間分為了(1,1)和(2,3)兩個區間,因為(1,1)和(2,3)區間的最大值事先已經記錄好了,所以直接拿來用就可以了。

3.1 層數

每一層最多查詢4個區間

考慮長度為16的序列構造成的線段樹,區間(0,15)。查詢區間(1,14)。

 第一層會查詢 (1,7) (8,15)
 第二層會查詢 (1,3) (4,7) (8,11) (12,14)
 第三層會查詢 (1,1) (2,3) (12,13) (14,14)
 第四層會查詢 (1,1) (14,14)複製程式碼

因為是連續的，中間那部分會直接算出來，然後兩邊的兩端繼續往下，還是4個區間。
因為線段樹的高度為log(n),所以查詢的時間複雜度為O(log(n))

3.2 程式碼2

線段樹區間查詢模板

3.3 單點更新

線段樹構造程式碼模板

如何把這種變化體現到線段樹中去？

例如，將序列中的第4個點更新為5,要變動3個區間中的值,分別為[3,3],[2,3],[0,3]

可以這樣想,改動一個節點,與這個節點對應的葉子節點需要變動。因為葉子節點的值的改變可能影響到父親節點，然後葉子節點的父親節點也可能需要變動。
所以需要從葉子節點一路走到根節點，去更新線段樹上的值。因為線段樹的高度為log(n)，所以更新序列中一個節點的複雜度為log(n)。

3.4 程式碼3

線段樹單點更新模板

如果需要區間的最小值或者區間的和。和構造的時候同理。

4. 相關線段樹面試題 Online Judge

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