DFS入門筆記

才瓯發表於2024-11-23
筆記

DFS深度優先搜尋-入門 筆記

DFS 依靠遞迴的思想，總是往更遠的方向行進，直到達到邊界，再返回到上一步考慮另外的方向

（遞迴-回溯）

  • 遞迴實現指數型列舉

從 \(1\)~\(n\) 這 \(n\) 個整數中隨機選取任意多個，輸出所有可能的選擇方案，即計算\(2^n\)

我們考慮有 \(n\) 個空位，每次都選擇填或不填數字進去

同時記錄該數字的狀態：選擇中、填、不填 一共三種狀態，所以需要一個陣列來儲存他們

int n;
int state[20];

然後來構造 dfs 函式：使用 x 這個變數來作為形式引數，意思是當前考慮到了第幾個空位

void dfs(int x){
	......
}

此時第 x 位的狀態為初始化的 \(0\) ，表示在選擇中，每個空位都有兩種選擇：填或不填

我們把填的狀態記作 \(1\) ，不填的狀態記作 \(2\)

state[x]=1;//選擇填入
dfs(x+1);
state[x]=0;
    
state[x]=2;//選擇不填入
dfs(x+1);
state[x]=0;

每次選擇填或不填後，再次呼叫 dfs 遞迴考慮下一個空位，遞迴完成後，我們將這一位的狀態復位，即state[x]=0（回溯）

當遞迴到沒有空位的情況時，我們就輸出方案：

if (x>n){//第x位超過了我們給定的n
    for (int i=1;i<=n;i++){
        if (state[i]==1)//當第i位的狀態為1（選了），我們就輸出該位填入的數
            printf("%d ",i);
    }
    printf("\n");
    return ;//終止遞迴，開啟回溯
}

完整程式碼：

#include <stdio.h>

int n;
int state[20];

void dfs(int x){
    
    if (x>n){
        for (int i=1;i<=n;i++){
            if (state[i]==1)
                printf("%d ",i);
        }
        printf("\n");
        return ;
    }
    
    state[x]=1;
    dfs(x+1);
    state[x]=0;
    
    state[x]=2;
    dfs(x+1);
    state[x]=0;
    
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    dfs(1);
    return 0;
}

  • 遞迴實現組合型列舉

從 \(1\)~\(n\) 這 \(n\) 個整數中隨機選出 \(m\) 個，輸出所有可能的選擇方案，即計算\(C_n^m\)

DFS要求我們的方案做到不重不漏，對應組合數的計算，採用“不回頭”的策略

還是考慮第 \(x\) 位填不填數字進去，只是需要增加一個引數來記錄我們從第幾個數開始選數字（不回頭）

填第 x 個空位時，我們從第 str 項開始

void dfs(int x, int str){
	......
}

使用for迴圈來對 n 個數依次進行考慮，定義arr 陣列，儲存我們的方案

for (int i=str;i<=n;i++){
    arr[x]=i;
    dfs(x+1,i+1);
    arr[x]=0;
}

從 \(1\) 開始考慮，每次填入 arr 陣列的第 x 位，然後遞迴到第 x+1 位，並從第 i+1 項開始選擇

最後遞迴到 x>n 時結束遞迴，輸出arr 陣列中每一位填入的數

 if (x>m){
    for (int i=1;i<=m;i++){
        printf("%d ",arr[i]);
    }
    printf("\n");
    return;
}

完整程式碼：

#include <stdio.h>

int n,m;
int arr[52];

void dfs(int x, int str){
    
    if (x>m){
        for (int i=1;i<=m;i++){
            printf("%d ",arr[i]);
        }
        printf("\n");
        return;
    }
    
    for (int i=str;i<=n;i++){
        arr[x]=i;
        dfs(x+1,i+1);
        arr[x]=0;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&m);
    dfs(1,1);
    return 0;
}

  • 遞迴實現排列型列舉

把 \(1\)~\(n\) 這 \(n\) 個整數排成一行後隨機打亂順序，輸出所有可能的次序，即計算\(A_n^n\)

我們一樣考慮第 \(x\) 位填入數字的操作，但是每次填入的數字都可以取未填過的，因為需要考慮排列順序

void dfs(int x){
    ......    
}

我們開一個bool陣列來記錄數字的狀態（選過了，未選過）

使用for 迴圈來遍歷所有數字的狀態，選擇未被使用過的數字填入第 x 位

for (int i=1;i<=n;i++){
    if (!st[i]){//選擇未被使用過的數
        arr[x]=i;
        st[i]=1;//標記該數已被使用
        dfs(x+1);
        st[i]=0;//回溯
    }
}

當 x>n 即填完了所有空位後，結束遞迴，輸出arr陣列記錄的填入的數字

if (x>n){
    for (int i=1;i<=n;i++){
        printf("%d ",arr[i]);
    }
    printf("\n");
    return;
}

完整程式碼：

#include <stdio.h>

int n, arr[10];
bool st[10];

void dfs(int x){
    
    if (x>n){
        for (int i=1;i<=n;i++){
            printf("%d ",arr[i]);
        }
        printf("\n");
        return;
    }
    
    for (int i=1;i<=n;i++){
        if (!st[i]){
            arr[x]=i;
            st[i]=1;
            dfs(x+1);
            st[i]=0;
        }
    }
    
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    dfs(1);
    return 0;
}

相關文章