詳細揭秘 SAM
這個咕了好久
這個東西很玄乎，大家抽象理解就好。
首先，SAM 是啥：
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字尾自動機。
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每個節點代表一個狀態，裡面存著一些原串的子串（但是不會在程式碼中存）。
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每個節點有轉移邊指向其他節點，一個字元最多有一條它的轉移邊。
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整個 SAM 的節點和轉移邊構成 DAG（有向無環圖）。
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每個節點有它的 link 指標，指向另外一個節點。
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整個 SAM 的節點和 link 指標構成一棵內向樹。
下面是一些你需要知道的定義：
\(\texttt{endpos}\)：設字串 \(t\) 的 \(\texttt{endpos}\) 集合表示它在原串 \(s\) 中的出現位置構成的集合，出現位置以最後一個字元定位。
如 \(s=\texttt{aabaaba}\) 中，串 \(\texttt{ab}\) 的 \(\texttt{endpos}\) 即為 \(\{3,6\}\)。
接著，我們將 \(\texttt{endpos}\) 相同的兩個串劃分到同一個 等價類 中。
例如上面的例子，\(\texttt{aab}\) 和 \(\texttt{ab}\) 就在一個等價類中，這個等價類即為 \(\{\texttt{aab},\texttt{ab}\}\)。
好了。那麼現在我告訴你，SAM 每個節點就代表一個等價類。
為了方便說明，現在我們下一些定義：
- 對於一個等價類（節點）\(u\)，設 \(longest(u)\) 表示等價類中最長的字串，\(maxlen(u) = |longest(u)|\)。類似地，設 \(shortest(u)\) 表示等價類中最短的字串，\(minlen(u) = |shortest(u)|\)。
現在有一些顯而易見的結論：
- 同一個等價類中的字串，兩兩之間一定是字尾關係。
因為既然它們 \(\texttt{endpos}\) 相同，從 \(\texttt{endpos}\) 往前延伸，形成的串們一定有某一段字尾相同。
如圖，紅色是 \(\texttt{endpos}\)，藍色和綠色是等價類中的兩個串。
進一步地，這些串一定都是等價類中最長串的字尾。
- 兩個串的 \(\texttt{endpos}\) 要麼成包含關係，要麼不相交。
這個顯然。只要有相交說明這兩個串成字尾關係，那麼它們 \(\texttt{endpos}\) 必定是一個包含一個的。（跟上圖一樣）
- 一個等價類 \(u\) 中的串長度連續，覆蓋了區間 \([minlen(u),maxlen(u)]\)。
這個也顯然，\(longest(u)\) 的所有字尾長度在 \([minlen(u),maxlen(u)]\) 之間的，\(\texttt{endpos}\) 至少會包含 \(longest(u)\) 的 \(\texttt{endpos}\)，又不會比 \(shortest(u)\) 的 \(\texttt{endpos}\) 多。所以它們全都在一個等價類中。
這意味著一個等價類含有的串數即為 \(maxlen-minlen+1\)。
下面引入 link。
我們定義一個節點（等價類）\(u\) 的 link 指標指向另一個節點（等價類）\(v\)，滿足
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\(longest(v)\) 是 \(longest(u)\) 的真字尾。
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在所有滿足上述條件的 \(v\) 中，\(maxlen(v)\) 最大。
換句話說，在 \(longest(u)\) 的字尾中，選一個最長的字尾使得它的 \(\texttt{endpos}\) 與 \(u\) 的 \(\texttt{endpos}\) 不同（前者比後者更大），將 \(u\) 的 link 指向這個 \(\texttt{endpos}\) 代表的等價類。
如圖，假設整個字串是 \(longest(u)\)，那麼 link 鏈的關係應該如圖所示。
可以看出來一直跳 link 最後會去到空串，對應的也就是初始狀態。
以及把這些等價類的串長區間（也就是圖中黑、紅、藍、綠色的括號）並起來，最後會得到 \([0,maxlen(u)]\)。
這個東西也可以這麼理解：把 \(longest(u)\) 每次刪去頭一個字元，隨著串變短，在 SAM 原串中出現位置自然會變多（即 \(\texttt{endpos}\) 的擴充）。
按照 \(\texttt{endpos}\) 變大的位置我們把這些字尾劃分成很多區間（對應不同的等價類），之間用 link 連線。
然後是節點的轉移邊。
這個東西其實很簡單：假設當前節點為 \(u\)，它有一條 \(c\) 的轉移邊指向 \(v\)。
那麼你可以理解為把 \(u\) 中的所有字串後面加上 \(c\) 得到的字串一定在 \(v\) 中。
因此想要找到一個串在 SAM 中屬於的節點，只需要逐個字元地走轉移邊，走到的節點就是了。
然後是 link 樹。
我們知道，整個 SAM 的節點和 link 指標構成一棵內向樹。這是因為每個點不斷跳 link 最後都會回到初始節點。
同時，這棵樹還是 \(\texttt{endpos}\) “要麼成包含關係，要麼不相交”關係構成的樹。
因為跳 link 的同時 \(\texttt{endpos}\) 也會慢慢增加元素，也就是說越靠近根節點 \(\texttt{endpos}\) 越大。
這棵樹有很廣泛的用途，一會再講。
不講如何構造。這個東西有點複雜，但是感性理解也能懂。建議背程式碼
SAM 有什麼用：
- 檢查串 \(t\) 是否在串 \(s\) 中出現過。
根據上面所說的，對 \(s\) 建 SAM，把 \(t\) 放上面按照轉移邊走，能一直走下去就是出現過。
- 求串 \(t\) 在串 \(s\) 中的出現次數。
出現次數就是 \(\texttt{endpos}\) 集合大小。
因此我們對 SAM 的節點預處理 \(siz\) 表示 \(\texttt{endpos}\) 集合大小，找到 \(t\) 對應的節點查詢 \(siz\) 即可。
如何預處理？先給出方法：先將 不由複製得到的 節點的 \(siz\) 設為 \(1\)，
對 link 樹 dfs 一遍，對每個點 \(u\) 執行 \(siz_u\gets siz_u+siz_v\) 後得到的就是最終的 \(siz\)。
為什麼這樣是對的？我們考慮每個不由複製得到的節點（下稱真節點）。假設它是在加入第 \(k\) 個字元時建立的，
在建立時它的 \(siz=1\)，並會使原串 \(2\sim k\) 的字尾 \(\texttt{endpos}\) 多了一個 \(k\)，即 \(siz\) 加 \(1\)。
因為遍歷字尾相當於跳 link，所以這相當於把這個真節點在 link 樹上到根的路徑全部 \(+1\)。
這個和求子樹和的效果是一樣的，與我們用求子樹和的方法最後處理效果一致。
- 求串 \(s\) 的本質不同子串數量。
SAM 已經幫你把相同的子串壓縮在一起了。
我們知道一個節點含有的串數即為 \(maxlen-minlen+1\)，我們對所有節點的這個值求和再 \(-1\)（空串）即可。
- 找到串 \(s\) 的一個子串 \(s_{l,r}\) 在 SAM 中對應的節點。
這個非常有用，在一些關於區間的題裡會常用到。（如 CF666E）
子串 \(s_{l,r}\) 就是字首 \(s_{1,r}\) 的一段字尾。
我們考慮對於每個字首先預處理出它在 SAM 中屬於的節點。
然後從字首 \(s_{1,r}\) 屬於的節點開始，不斷跳 link（相當於遍歷該字首的字尾），直到當前 \(maxlen<=r-l+1\)。
由於跳 link 過程中 \(maxlen\) 是不斷減小的，我們可以用倍增代替這個暴力跳的過程。
這樣單次詢問複雜度就做到了 \(\mathcal O(log n)\)。