網格簡化-QEM 頂點二次度量的最佳化

QEM 頂點二次度量的最佳化

理論

QEM（Quadric Error Metrics，四元數誤差度量）是一種常用的網格簡化技術，它透過計算幾何代價來評估邊的簡化。透過使用 QEM，您可以在簡化過程中保留重要的幾何特性。

邊摺疊的基本思想

在 QEM 中，邊摺疊的目的是將兩個頂點合併成一個新頂點，以減少網格的複雜性。每條邊都有一個代價（即誤差度量），這個代價通常是基於如何保持網格特徵的原始形狀和細節。邊的摺疊會改變網格的幾何結構，因此需要重新計算與其相關的度量。

計算二次度量

1. 原始度量定義：
   QEM 為每個頂點維持一個四維度量矩陣（4x4 矩陣），用於表示摺疊過程中對幾何的誤差。這一度量是從與每個頂點相鄰的每個面匯出的。

2. 從面匯出度量：
   對於每個面 FF，可以計算其四元數誤差的二次形式：

   QF=NF⋅NFT⋅AFQF​=NF​⋅NFT​⋅AF​

   其中，NFNF​ 是面的法向量，AFAF​ 是面的面積，QFQF​ 是一個 4x4 矩陣。這一過程會為每個頂點累積所有相鄰面 FF 的度量：

   Qv=∑F∈N(v)QFQv​=F∈N(v)∑​QF​

   其中 N(v)N(v) 是與頂點 vv 相鄰的所有面。

3. 邊摺疊的二次度量：
   在選擇邊摺疊時，要計算透過摺疊邊 e=(v1,v2)e=(v1​,v2​) 後得到的新頂點 v′v′ 的誤差：

   Qe=Qv1+Qv2Qe​=Qv1​​+Qv2​​

   對於給定的新頂點 v′v′，應計算其代價：

   Cost(v′)=v′TQev′Cost(v′)=v′TQe​v′

   這是一個關於新頂點位置的二次形式，您可以透過求導來找到使成本最小的 v′v′。

4. 求解最小值：
   為了最小化代價，我們對 Cost(v′)Cost(v′) 進行求導並設定為零，得到：

   Qev′=0Qe​v′=0

   如果 QeQe​ 是非奇異的，可以求解出合併後的頂點 v′v′。