深入淺出PID演算法

劼哥stone發表於2022-05-10
演算法

前言

博主是工業網際網路行碼農一枚，雖然不是演算法工程師和自動化方向的，但經常參加同事介紹控制演算法原理的培訓，慢慢的對小部分控制演算法有一定了解，其中使用頻率最高的控制演算法非PID莫屬。很多同學在學習PID的時候，會被繁雜的數學公式嚇倒，今天我們就拋開數學公式，用邏輯和例子給大家講明白“到底什麼是PID”？

PID演算法簡介

PID是一種控制演算法，是 Proportional（比例）、Integral（積分）、Differential（微分）的縮寫。它是連續系統中技術最為成熟、應用最為廣泛的一種控制演算法。

PID控制器主要適用於基本上線性，且動態特性不隨時間變化的系統。簡單來說就是：類似於需要將某一個物理量“保持穩定”的場合，PID基本都能派上用場。

工業中PID典型的應用場景有：溫度控制、流量控制、液位控制等。

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生活中PID的應用也很常見：自來水的壓力控制、空調的溫度控制、平衡車的平衡控制、汽車的定速巡航控制、無人機的懸停控制、火箭飛機的姿態調整等。

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實際執行經驗和理論分析都表明，運用PID控制演算法對許多工業過程進行控制都能得到比較滿意的效果。

PID的概念及公式

PID的基本思路是根據偏差量的大小，運用比例、積分、微分計算出一個控制量，將這個控制量輸入被控制的系統，系統接收到該輸入量後會輸出一個相應的輸出量，PID控制器再檢測該輸出量，並再計算偏差，然後再迴圈以上過程。
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原始公式如下：
$u(t)=K_p \Bigg( e(t)+\frac{1}{T_i}\int^t_0e(t)dt+T_d\frac{de(t)}{dt}\Bigg)$

  • $K_p$ —— 控制器的比例係數；
  • $T_i$ —— 積分時間常數；
  • $T_d$ —— 微分時間常數；
  • $u(t)$ —— PID控制器的輸出訊號；
  • $e(t)$ —— 給定值$r(t)$與測量值之差。

公式可簡化為：
$u(t)=K_p * e(t) + K_i * \sum_{n=0}^t e(t) + K_d * (e(t) - e(t-1))$

  • $K_p$ —— 控制器的比例係數；
  • $K_i$ —— 控制器的積分系數；
  • $K_d$ —— 控制器的微分系數；
  • $u(t)$ —— PID控制器的輸出訊號；
  • $e(t)$ —— 給定值$r(t)$與測量值之差。
  • $e(t-1)$ —— 上一次給定值$r(t)$與測量值之差。

很多同學可能會被上面數學公式整懵了，沒關係，我們先看完下面例子，再回頭看來公式，相信你能對以上公式有新的認識。

在學習PID之前，我們需要先了解什麼是 開環控制 和 閉環控制，這2個概念能夠幫助我們更好的理解PID。

開放回路控制系統

開環控制（Open Loop Control System）：不將控制的結果反饋回來影響當前控制的系統。例如：

  • 開關——按下開關後的一瞬間，控制活動已經結束，燈是否亮起已對按開關的這個活動沒有影響；
  • 投籃——籃球出手後就無法再繼續對其控制，無論球進與否，球出手的一瞬間控制活動即結束。

閉環迴路控制系統

閉環控制（Closed Loop Control System）：需要將控制的結果反饋回來與希望值比較，並根據它們的誤差調整控制作用的系統。例如：

  • 調節水龍頭——首先在頭腦中對水流有一個期望的流量，水龍頭開啟後由眼睛觀察現有的流量大小與期望值進行比較，並不斷的用手進行調節形成一個反饋閉環控制；
  • 騎自行車——同理，需要不斷的修正行進的方向與速度形成閉環控制。

閉環控制系統通常會由以下6個環節組成。
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我們拿“維持水缸水位高度在1米”為例，來詳解閉環控制中的每個環節：

  • 感測器：人工測量當前水位高度
  • 目標量：維持水缸水位高度在1米
  • 偏差量：目標量 - 當前水位高度
  • 控制器：根據偏差量計算出執行量
  • 執行量：傳給執行器的入參
  • 執行器：人工用水桶向水缸中加水

其中感測器、目標量、偏差量、執行量、執行器 這5個環節都比較簡單，一眼就能看明白意思。最關鍵的環節控制器相對複雜一些，在控制器環節選擇不同的控制演算法，根據偏差量計算出執行量也不同，今天我們就具體看看PID的控制效果。

PID之比例P

前面有說到PID的基本思路是根據偏差量的大小，運用比例P、積分I、微分D計算出一個控制量。但PID的3個引數，並不是非要一起使用，可以單用比例P來控制，也可以兩兩聯合用比例P+積分I或比例P+微分D來控制。

我們先看看僅用比例P能帶來什麼樣的控制效果？繼續上面的“水缸”例子：

  • 感測器：人工測量水缸初始水位高度是0.2米
  • 目標量：維持水缸水位高度在1米
  • 偏差量：1米 - 0.2米 = 0.8米
  • 控制器：使用PID演算法的比例控制，根據偏差量計算出執行量
  • 執行量：傳給執行器的入參
  • 執行器：人工用水桶向水缸中加水

通常情況偏差量和執行量之間的單位不同，在當前例子裡偏差量的單位是水缸，而執行量的單位是水桶，他們的容積不一樣，所以我們需要一個係數，來放大或者縮小兩者的關係。具體公式可抽象為：

執行量 = 比例P = 偏差量 * 比例P係數

這個時候，假設水缸旁邊站著一個人，用水桶往水缸里加水來控制水位的高度。如果單純的用比例控制演算法，假設比例P係數是0.5（相當於兩桶水的容量等於一缸水的容量），我們開始模擬加水實驗：
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如上圖結果所示，人工用水桶向水缸中加水8次，就能把水缸水位加到1米高度。把當前水位轉換成曲線，大概效果如下。

上述例子比較簡單，單靠比例P就能完成任務，但現實情況往往只有比例P是不夠的，我們再來看一個更復雜的情況，假設比例P係數仍然是0.5，但在每次加水的間隔，水缸都會漏掉0.1米高度的水。我們再從頭模擬加水實驗，看看具體結果會怎樣？
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如上圖結果所示，當水位達到0.8之後，水位就不會繼續增加了。因為，當水位等於0.8時，偏差量是0.2，每次往水缸中加水的量為執行量= 比例P= 0.2 * 0.5 = 0.1，而每次加水的間隔，水缸都會漏掉0.1米高度的水，所以加入的水和流出的水相抵消。

雖然，此時控制系統已達穩定狀態，但實際值與目標量之間的會存在一個穩定差值，這個差值叫穩態誤差。穩態誤差非常常見，比如：控制空調溫度會因為空氣溫差而降溫、控制無人機固定高度會受重力影響往下掉、控制汽車定速巡航會有空氣阻力和摩擦力的影響而減速，這些場景都會產生穩態誤差。

單單隻用比例P控制閉環迴路，是無法避免穩態誤差問題的，因為比例P係數無法根據時間或次數累加，當存在外界干擾因素時，比例P係數無法動態調整大小，那麼穩態誤差就會一直存在。

假如我們引入時間的維度，就能獲得2個神器 增幅器-積分I 和 抑制器-微分D，他們分別解決比例P過小和過大的情況，比例P過小的話由增幅器-積分I 補充即可解決穩態誤差問題，比例P過大由抑制器-微分D消減來防止過度震盪。

PID之積分I（增幅器）

我們先來看看增幅器積分I，它也可以理解為累加經驗，當比例P過小，可以由積分I補充，它的原理是利用過去的時間不斷累加。具體公式可抽象為：

比例P = 偏差量 * 比例P係數
積分I = 上一次積分I + 偏差量 * 積分I係數
執行量 = 比例P + 積分I

想象一下，如果用只比例P控制存在穩態誤差，說明比例P過小，這時積分I就會不斷累加到一個很大的值，來補充比例P，從而影響執行量。

如果最終控制效果在目標量附近抖動，我們就能得到一個正負交替的偏差量，會在目標附近不斷產生正負數累加到積分I，積分I就會不斷趨近於零，最終使控制效果趨於穩定。

我們繼續用上面“水缸加水”的例子，假設目標量是1，每次漏水0.1，比例P係數為0.5，積分I係數為0.2，我們再從頭模擬加水實驗，具體數值如下。
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把當前水位轉換成曲線，大概效果如下。
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上一輪實驗只用比例P控制存在穩態誤差。本輪實驗加入了積分I之後就有了累加效果，在未達到控制效果之前積分I會持續累加，在達到目標量之後積分I因為慣性會繼續過量控制 ，同時偏差量會由正轉負再轉正，積分I也會由正轉負再轉正，最終積分I會持續抵消掉每次漏水0.1，控制效果趨於穩定 。

增幅器有他的危險性，如果系統出現意外或錯誤，增幅器可能會被累加到無限大，導致系統不可用，所以增幅器需要有一定的限制。

  • 1、限制幅度，在任意時刻都給積分I設定最大值和最小值。
  • 2、不執行時清零，當系統判斷沒有執行時，主動將積分I清零。

PID之微分D（抑制器）

我繼續再看看抑制器微分D，它也可以理解為預測未來，用當前的偏差量減上一次偏差量，得到的結果就可能是下一次偏差量，用下一次偏差量提前參與到計算中，就可以防止執行量過大，產生超出目標量的問題。具體公式可抽象為：

比例P = 偏差量 * 比例P係數
積分I = 上一次積分I + 偏差量 * 積分I係數
微分D = (偏差量 - 上一次偏差量) * 微分D係數
執行量 = 比例P + 積分I + 微分D

換個“汽車剎車”的例子，平穩駕駛的車輛，當發現前面有紅燈時，為了使得行車平穩，基本上提前幾十米就鬆油門踩剎車。當車輛離停車線非常近的時候，則使勁踩剎車使車輛停下來，整個過程可以看做一個加入微分D的控制策略。

可以看到，在剎車過程中，因為偏差量是越來越小的，所以 微分D= (偏差量-上一次偏差量)*微分D係數一定是負數，在控制中加入一個負數項，他存在的作用就是為了防止汽車由於剎車不及時而闖過停車線。

從常識上理解，越靠近停車線，就越應該踩深剎車，不能讓車過線，所以這個 微分D的作用，可以理解為剎車。當車離停車線很近，並且車速還很快時，這個 微分D的絕對值（實際上是一個負數）就會很大，表示應該大力踩剎車儘快讓車停下來。

再回到上面“水缸加水”的例子，當發現水缸裡的水快要接近目標量時，加入 微分D可以減少過量加水的幅度，說白了就是減少控制過程中的震盪。假設目標量是1，每次漏水0.1，比例P係數為0.5，積分I係數為0.2，微分D係數為0.2，我們再從頭模擬加水實驗，具體數值如下。
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上一輪實驗使用比例P和積分I聯合控制，最高水位達到1.3，超過目標量之後，水位最低迴落至0.83。本輪實驗加入了抑制器微分D之後，最高水位僅達到1.23，超過目標量之後，水位最低迴落至0.88，相比上一輪實驗，本輪震盪幅度明顯減小，這就是微分D的抑制作用。

分享一個動圖，很好的展示了比例P、積分I、微分D的控制效果，其中紅色虛線是目標量，曲線是用當前值的變化趨勢。結合這個動圖，大家再回想一下“水缸加水”的例子，控制效果是不是很相似呀~

PID原理總結

我們用了“水缸加水”的例子，詳細解釋了PID的比例P、積分I、微分D三個引數的控制原理，相信小夥伴們已經明白什麼是PID了。大家再回過頭看這個公式，是不是也覺得挺親切的。
$u(t)=K_p * e(t) + K_i * \sum_{n=0}^t e(t) + K_d * (e(t) - e(t-1))$

  • $K_p$ —— 控制器的比例係數；
  • $K_i$ —— 控制器的積分系數；
  • $K_d$ —— 控制器的微分系數；
  • $u(t)$ —— PID控制器的輸出訊號；
  • $e(t)$ —— 給定值$r(t)$與測量值之差（偏差量）；
  • $e(t-1)$ —— 上一次給定值$r(t)$與測量值之差。

最後再總結一下：

  • 比例P、積分I、微分D都跟偏差量有關
  • 比例P取決於當前的偏差量
  • 積分I累計過去所有偏差量之和
  • 微分D預測下一時刻偏差量

所以，經常有人說比例P是現在，積分I是過去，微分D是未來，是不是有一種哲學的感覺，哈哈~

PID調參口訣

最後分享個PID調參口訣，寫得挺好還挺押韻的~

引數整定找最佳，從小到大順序查；
先是比例後積分，最後再把微分加；
曲線振盪很頻繁，比例度盤要放大；
曲線漂浮繞大灣，比例度盤往小扳；
曲線偏離回覆慢，積分時間往下降；
曲線波動週期長，積分時間再加長；
曲線振盪頻率快，先把微分降下來；
動差大來波動慢。微分時間應加長；
理想曲線兩個波，前高後低4比1；
一看二調多分析，調節質量不會低；
若要反應增快，增大P減小I;
若要反應減慢，減小P增大I；
如果比例太大，會引起系統振盪；
如果積分太大，會引起系統遲鈍。

參考引用

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