閔可夫斯基和
定義兩個凸包 \(A,B\) 的閔可夫斯基和 \(C=\{a+b\mid a\in A,b\in B\}\) 。就是從原點向其中一個凸包連出的向量，平移到另一個凸包上的每一個點，最後構成的圖形即為兩個凸包的閔可夫斯基和。其中的第一個圖形可以看做被縮到了原點，\(C\) 中右下角（這裡是指先是 \(y\) 座標最小，再是 \(x\) 座標最小的點）的點是 \(A,B\) 中兩個右下角的點的座標之和。
求法
對於兩個凸包的情況，我們可以手模發現，最終形成的凸包 \(C\) 的每一條邊都是凸包 \(A,B\) 中的一條邊，可以用平行四邊形來證明。由於在凸包上的每一條邊，從最下面的那一條邊開始，按照逆時針順序，它們的極角是遞增的。所以我們可以將 \(A,B\) 上的邊依次比較極角，然後加入 \(C\) 中，從起始點開始每次加上那個邊表示的向量。
對於多個凸包的情況，我們可以將所有的邊放到一起進行排序，最後一起處理。
求凸包
（由於自己總是求不對凸包，這裡寫一下）
通常是先求出右下角的點，然後按照以該點為原點的其他點的極角序加入凸包。這裡如果使用 \(atna2(y,x)\) 的話，要注意精度問題；另一種判斷方法是用叉積：若 \(\vec{AB}\times\vec{AC}<0\) ，則 \(\vec{AC}\) 在 \(\vec{AB}\) 的順時針方向（\(\vec{AB}\) 所在的直線的右邊，視角為向量的方向）；若 \(>0\) ，則在逆時針方向；若 \(=0\) ，則兩個向量共線。這裡要注意的是由於極角是到 \(x\) 軸的正半軸，所以要先比較兩個向量是否同在 \(x\) 軸的上方或下方，然後再判斷；如果兩個向量方向相同，則要先加入距離右下角的點最遠的的，因為一般情況下我們會將凸包上所有三點共線的點刪掉，所以要這樣做來防止刪掉了我們要求的凸包上的點。
（防止自己記不住，再寫一遍：\(\vec{A}\times\vec{B}=A.x*B.y-A.y*B.x\)）
由於在凸包上的連續三個點 \(P_1,P_2,P_3\) 按照逆時針排序的話，它們是滿足 \(\vec{P_1P_2}\times\vec{P_2P_3}\ge0\) 的，由於我們不要三點共線上的點，所以一般將 \(=\) 去掉。構建時維護一個棧，每次判斷棧頂的下一位、棧頂和要加入的點是否滿足條件，不滿足就彈棧。
練習題
P8101 [USACO22JAN] Multiple Choice Test P
模板題（確信）。
題意：給定 \(N\) 組向量，每組向量有 \(G_i\) 個，每次你需要選擇每一組中的一個向量，問最終這些向量的和到原點的距離的最大值。
解法：先將一組向量畫出來，發現可能成為的點都在凸包上。然後考慮如何合併兩組的答案，發現兩組的答案其實是將其中一組的向量全部平移到另一組向量上，然後再求一次凸包上的點。這就和閔可夫斯基和一樣，於是我們處理出每一組向量的凸包，然後求所有凸包的閔可夫斯基和就行了。
P4557 [JSOI2018] 戰爭
題意：給定兩組點，有 \(Q\) 次詢問，每次問你將第二組點都加上一個向量 \((x_i,y_i)\) 後，平面內是否存在一個點，滿足它既被第一組的點中任意三點構成的三角形覆蓋，又被第二組的點中的任意三點構成的三角形覆蓋。
解法：首先先求出兩組點構成的凸包，接著問題就變成了求兩個凸包是否有交集，這種問題我們使用閔可夫斯基和來求解。題目問的是是否存在一個在凸包 \(B\) 中的點 \(b\) 平移 \(w\) 後與凸包 \(A\) 中的點 \(a\) 相同，即 \(b+w=a\) ，移項得到 \(w=a-b\) 。於是我們將 \(B\) 中的每個點取反就得到了 \(-b\) ，然後求閔可夫斯基和就好了。
最後是判斷一個點是否在凸包內，這裡使用二分。將最後求得的凸包 \(C\) 的右下角的點平移到原點上，然後從原點向詢問的點連一條邊，找到凸包上的一條邊，滿足原點連向它的兩個端點的向量的極角，包含了詢問的點的極角。之後用叉積判斷即可。