dfs檢測是否有環的優化

Wayne_Kdl發表於2019-12-30
優化

本文是刷leetcode第207題的感想，《演算法》4th english version這本書已經很久沒看了，嘗試自己寫出有向圖的leetcode題，心想以前在公司專案裡擼過DAG（有向無環圖），現在做題肯定不在話下，而且正好檢測一下學習成果，也能看看自己的理解是否深刻。
結果做倒是做出來了，就是時間慘不忍睹（250ms，僅超越約6%），很尷尬，再看了看書，發現以前對書上演算法的理解有問題，特此記錄。

我的做題思路

class Solution {
    public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
        //完成所有課程，說明沒有環（有環就互為前置了）
        //需要都可達嗎？  不需要。。並沒有這個需求
        Object[] adj = new Object[numCourses];
        boolean[] onStack = new boolean[numCourses];
        //構造出鄰接連結串列，這不重要
        int i = prerequisites.length;
        for(int j = 0;j<i;j++){
            Integer left = prerequisites[j][1];
            Integer right = prerequisites[j][0];
            if(adj[right] == null){
                Set<Integer> set = new HashSet<>();
                set.add(left);
                adj[right] = set;
            }else{
                Set<Integer> set = (Set<Integer>)adj[right];
                set.add(left);
                adj[right] = set;
            }
        }
        //對每個節點進行一次dfs，如果發現一次迴圈之後有環就退出
        for(int k = 0;k<numCourses;k++){
            boolean b = dfs(k,adj,onStack);
            if(b==false){return false;}
        }
        return true;
    }

    private boolean dfs(int i, Object[] adj, boolean[] onStack){
        //是否在方法呼叫棧上，也就是，是否在來當前節點的路徑上
        //這裡的棧，其實是方法呼叫棧的思想，思想是棧，但是為了能隨意獲取某個元素用了陣列
        onStack[i] = true;

        Set<Integer> set = (Set<Integer>)adj[i];
        if(set == null){
            onStack[i] = false;
            return true;};
        for(Integer integer: set){
            if(onStack[integer]==true){
                return false;}
            boolean b = dfs(integer,adj,onStack);
            if(!b){return b;}
        }
        onStack[i] = false;
        return true;
    }
}
複製程式碼

與書上演算法的區別

public class DirectedCycle {
    private boolean[] marked;        // marked[v] = has vertex v been marked?
    private int[] edgeTo;            // edgeTo[v] = previous vertex on path to v
    private boolean[] onStack;       // onStack[v] = is vertex on the stack?
    private Stack<Integer> cycle;    // directed cycle (or null if no such cycle)

    public DirectedCycle(Digraph G) {
        marked  = new boolean[G.V()];
        onStack = new boolean[G.V()];
        edgeTo  = new int[G.V()];
        for (int v = 0; v < G.V(); v++)
            if (!marked[v] && cycle == null) dfs(G, v);
    }

    // check that algorithm computes either the topological order or finds a directed cycle
    private void dfs(Digraph G, int v) {
        onStack[v] = true;
        marked[v] = true;
        for (int w : G.adj(v)) {

            // short circuit if directed cycle found
            if (cycle != null) return;

            // found new vertex, so recur
            else if (!marked[w]) {
                edgeTo[w] = v;
                dfs(G, w);
            }

            // trace back directed cycle
            else if (onStack[w]) {
                cycle = new Stack<Integer>();
                for (int x = v; x != w; x = edgeTo[x]) {
                    cycle.push(x);
                }
                cycle.push(w);
                cycle.push(v);
            }
        }
        onStack[v] = false;
    }
}
複製程式碼

看了看書，發現書上的變數比我多兩個edgeTo、marked，edgeTo是因為需要記錄一下到底環由哪幾個節點構成，我們這裡只需要檢測是否有環，因此edgeTo不需要。
那麼再來看marked

  • 在DirectedCycle方法中，就已經用到了marked，也就是，如果已經到過的節點，那麼就不做dfs了。
  • 在dfs中
    • 對於沒有到過的節點，做dfs
    • 到過的節點&在方法呼叫棧上，就說明有環
    • 到過的節點&不在方法呼叫棧上，說明在其他路徑上已經處理過該節點，什麼都不做
      這裡有兩個問題：
  • 在DirectedCycle方法中，對於到過的節點不做dfs
  • 在dfs方法中，對於到過&不在方法呼叫棧上的節點，什麼都不做
    也可以說是一個問題：

從其他節點出發到過的節點，或者對其他節點dfs已經處理過的節點，是否能確保是安全的。
這裡的安全包括兩點：

  • 如果已經處理過的路徑有環，那麼正在處理的路徑也有環（這種情況實際不可能存在，因為如果已經處理過的路徑有環，那麼方法就會退出，也不會處理新的路徑了）
  • 如果已經處理過的路徑無環，假如已經處理過的路徑的一部分是正在處理的路徑的一部分，那麼已經處理過的路徑所在的部分無環。（如果包含已處理過路徑的正在處理路徑有環，那麼被包含的部分應該也在環中，該命題成立，則需要被證明的逆否命題也成立）

因此可以得出已被處理過的節點是安全的結論，因此可以忽略marked==true的節點。
我在我的程式碼中加入了marked優化，直接讓執行時間從250ms降低到了6ms！！！

一個小重點

其實有一個重點結論：如果dfs到了存在於環中的某個節點，那麼一定會進入環！那麼他的逆否命題就是，如果dfs處理過的節點沒有進入環，那麼該節點一定不在環中
因為節點在環中，那麼節點的鄰接連結串列中一定存在一個同樣處在環中的節點。這麼顯而易見的特點，一定一定要利用起來。

誤區

之前是直接看的書，沒有刷題，有些東西沒有想透，比如這個marked，我認為書中的程式碼，是要實現的功能的最小可用版本，但是marked又看不懂，而for迴圈又是從0開始的，書上的各種圖都是0就是起始節點，因此我認為，只有在從起始結點開始dfs時，這個marked也有用。包括我在做專案時，我也定了一個起始節點。
但是在做題的時候發現，他並沒有一個起始節點，我對每一個節點做dfs毫無問題，加上marked之後也毫無問題，於是我發現了，並不需要從一個起始節點開始dfs， 即使一開始dfs的是比較靠後的節點，之後迴圈的是靠前的節點，那也是沒有問題的，而且對這種情況可以做優化。
我以為marked是實現某個功能的，沒想到marked是為了優化。但是其實我也能感覺到自己的思路有問題，假設0123是有關聯關係的，45是有關聯關係的，那難道就一定是4之後是5嗎？書中完全沒有這樣的前提條件，是我自己在瞎想罷了。
之所以沒想通，還是因為有向圖和無向圖的區別其實有點大，無向圖中的marked好理解，有向圖中的marked還是多了些需要注意的地方。

edgeTo

可以注意到，只有marked[w]為false的時候才新增edgeTo[w]=v，也就是說，對每個節點來說，只有第一次到達這個節點的時候才設定edgeTo，那麼這是為什麼呢？
會不會edgeTo設定錯了？也就是說edgeTo對某個在環中的點設定了不在環中的路徑？基於此假設，那麼

  • 節點V應有某個不在環中的節點指向V
  • 節點V在環中

那麼V應該是這樣的樣子：

dfs檢測是否有環的優化

因為V在環中，所以V除了不在環中的節點指向V，其他必然至少有兩條路徑，一條出，一條入，而這條出的路徑又在環中，那麼根據程式碼和畫圖來看

                cycle = new Stack<Integer>();
                for (int x = v; x != w; x = edgeTo[x]) {
                    cycle.push(x);
                }
                cycle.push(w);
                cycle.push(v);
複製程式碼

dfs檢測是否有環的優化
雖然edgeTo[w]不等於V，但是程式碼裡對w和v進行了手動push，並不是利用edgtTo，因此沒有問題。

總結

今天的策略，即先自己寫再看書，今天看起來還是很成功的，不僅如此，以後刷題也要多看高效率的題解，多想著從各個角度解決問題。不過，第一遍目測還是做完拉倒吧哈哈哈哈。

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