1. 計算機
1.1. 對於計算機來說，它就很擅長處理這種重複而機械且計算量龐大的任務
1.1.1. 在速度與準確性等方面，計算機是遠超過手工計算的
1.2. 計算機只能執行指令，並無自主創造力
1.2.1. 想要證實程式中是否存在錯誤是很困難的
1.2.2. 我們能在多大程度上相信計算機，這個問題一直困擾著人工智慧領域的學者
1.2.3. 當我們進入由演算法主導的未來時，確保程式碼中沒有未被檢測出的錯誤，將成為一項艱鉅的挑戰
1.3. 哲學家大衛·休謨（David Hume）指出的，大多數科學研究都建立在歸納法之上——透過觀察特定的例子來推斷出一個普遍的規律或原則
1.3.1. 基於歸納法，曾產生了許多著名的科學理論，這反過來證實了歸納法確實是一種科學研究的好方法
1.4. 人類大腦的物理侷限性，稽核人必須得充分相信計算機的能力，就好比我們第一次乘坐飛機一樣，心中難免惴惴不安
1.4.1. 許多問題的證明往往都存在不足或錯誤，人類犯錯的可能性通常比計算機更大
1.4.2. 錯誤可以被修正，但遺憾的是，在證明的驗證和稽核階段它們並沒有被找出來
1.4.2.1. 證明的驗證和稽核非常重要，它是發現缺陷和漏洞的重要環節
1.4.3. 以安德魯·懷爾斯證明“費馬大定理”為例，在其證明方法付梓之前，審驗人員發現了一個小缺陷
1.4.3.1. 懷爾斯和理查德·泰勒（Richard Taylor，曾是懷爾斯的學生）奇蹟般地修正了這一缺陷
1.5. 許多新的證明極其複雜，以至於數學家們很擔心一些潛在的錯誤難以被發現
1.5.1. “魔群”是最大的“散在單群”
1.5.1.1. 需要196 883維線性空間才能表達的“魔群”
1.5.1.2. “魔群”具有的元素個數超過了構成地球的原子個數
1.5.2. “魔群定理”的證明散落在100多篇論文中，合計超過10 000頁，涉及數百名數學家
1.5.3. 真理的產生取決於你的證明方法
1.6. 20世紀70年代，計算機對“四色定理”的證明轟動了全世界
1.6.1. 四色定理指的是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色。”
1.6.1.1. 在不引起混淆的情況下，一張地圖至少需要四種顏色來標記
1.6.2. 1976年，數學家凱尼斯·阿佩爾（Kenneth Appel）和沃爾夫岡·哈肯（Wolfgang Haken）在前人的基礎上用計算機證明了四色定理
1.6.2.1. 阿佩爾與哈肯把地圖的無限種可能情況簡化為1936種構型，但是要靠人工逐一驗證如此之多的構型是不現實的，所以才需要藉助計算機進行驗證
1.6.2.2. 整個證明過程的耗時超過了1000小時
1.7. 1992年，牛津物理學家利用弦理論中的啟發法對高維幾何空間中可識別的代數結構數量進行了預測
1.7.1. 事實證明，否定這個預測的錯誤證據正是由一個有缺陷的計算機程式生成的
1.7.2. 錯的是數學家，而不是物理學家
1.7.2.1. 程式的錯誤把他們引入了歧途
1.8. 2006年匹茲堡大學的托馬斯·黑爾斯（Thomas Hales）教授在《數學年鑑》上發表了關於藉助計算機證明著名的數學問題——“開普勒猜想”的論文
1.8.1. 開普勒猜想就是對在空間中如何最密集地堆積圓球的解答
1.8.2. 用了8年時間，數學家們證明了黑爾斯是正確的，但其確定性是99%
1.8.2.1. 對於數學純化論者來說，這1%也是不可容忍的
1.8.2.2. 因為無法確定計算機程式是否存在潛在缺陷
2. Coq證明助手
2.1. 數學是最偉大的浪漫主義學科之一，即便是天才，也得掌握所有知識才能激發靈感，理解一切。
2.1.1. 貢蒂爾
2.2. 在過去，數學問題的證明和驗證過程全憑人工完成
2.2.1. 人類的大腦存在物理上的侷限性
2.3. 越來越多的證明開始借力於計算機，但因為驗證的過程既煩冗又複雜，並且工作量巨大，人類大腦的侷限性決定了無法採用人工驗證的方式判斷其對錯
2.3.1. 透過構建新的程式來驗證計算機證明的正確性
2.3.2. 所做的一切能夠叩開人類與機器彼此信任、持續合作的新時代“大門”
2.4. 人類手工證明與計算機證明不同，手工證明過程中會跳過一些煩瑣或眾人皆知的步驟，而計算機卻依賴於明確、細化的步驟才能正確執行指令
2.4.1. 類似於寫小說和寫保姆指導手冊的區別
2.4.2. 前者不需要對主人公的每一個動作都解釋得一清二楚
2.4.3. 後者則需要儘可能地明確和詳盡，包括一天中嬰兒的食譜，以及吃飯、睡覺、上廁所的每一個細節
2.5. 20世紀80年代末，法國數學家皮埃爾·於埃（Pierre Huet）和蒂埃裡·科昆德（Thierry Coquand）開始從事結構微積分（calculus of
constructions）專案