洛必達法則（L'Hôpital's Rule）是一個用於處理極限中不定型的有效工具，尤其是在極限形式為 $ \frac{0}{0} $ 或 $ \frac{\infty}{\infty} $ 時，能有效地透過導數簡化極限計算。它通常用於計算一些看似複雜的極限問題，尤其當函式的形式比較難直接求解時。
洛必達法則定義
洛必達法則的基本內容是：設 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 是在某鄰域內可導的函式，如果在某點 $ c $ 附近存在以下情形（$ c $ 可以是有限值或無窮）：
- 極限形式為 $ \frac{0}{0} $ 或 $ \frac{\infty}{\infty} $ 之一，即\[\lim_{x \to c} f(x) = 0 \quad \text{且} \quad \lim_{x \to c} g(x) = 0 \quad \text{（或）} \quad \lim_{x \to c} f(x) = \pm\infty \quad \text{且} \quad \lim_{x \to c} g(x) = \pm\infty \]
- 且 $ f'(x) $ 和 $ g'(x) $ 在 $ c $ 的某去心鄰域記憶體在，並且 $ g'(x) \neq 0 $ 在該鄰域內。
那麼，如果極限 $ \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} $ 存在或者為無窮大，則有：
一句話來說，洛必達法則透過求導來簡化不定型極限的計算
洛必達法則證明
證明洛必達法則只需要導數的定義和柯西中值定理。
這裡證明其中一種情況，設 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 在 $ c $ 點附近（即某個去心鄰域內）可導，並且 $ g'(x) \neq 0 $ ，並且滿足：
柯西中值定理（Cauchy Mean Value Theorem）告訴我們，對於兩個在區間 $ (c, x) $ 上可導的函式 $ f(x) $ 和 $ g(x) $，存在一個點 $ \xi \in (c, x) $ 使得：
因為 $ f(c) = g(c) = 0 $，所以我們有：
當 $ x \to c $ 時，$ \xi \to c $，因此：
由此得出洛必達法則。
回顧洛必達法則的適用條件
洛必達法則適用的前提條件包括：
-
不定型條件：要求極限為 $ \frac{0}{0} $ 或 $ \frac{\infty}{\infty} $。如果極限形式不是這兩種，則不能直接使用洛必達法則。
-
可導性：函式 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 在點 $ c $ 附近必須是可導的。且$ g'(x) $ 必須在鄰域內不為零，以保證分母在求極限時不會出現零除。導數的存在性常常被忘記，需要特別注意。
在以上兩點滿足的情況下，透過應用洛必達法則後，得到的新極限必須存在或趨向無窮大。若新極限 \(\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}\) 廣義存在（為有限值或無窮大），則原極限也存在也和新極限相等。但是，若新極限不存在，則不能確認原極限是否存在，原極限仍有可能存在，需要使用其他方法。
如果得到的極限形式仍然是 $ \frac{0}{0} $ 或 $ \frac{\infty}{\infty} $，滿足相應條件時可以再次應用洛必達法則。
應用示例
示例 1：使用洛必達法則簡化計算
考慮極限問題：
直接代入 ( x = 0 ) 得到形式為 ( \frac{0}{0} )，符合洛必達法則的條件。我們對分子和分母分別求導：
它們的導數分別是：
因此，極限變為：
化簡後得到：
也可以再次應用洛必達法則。
示例 2：洛必達法則不可用的情況
考慮極限問題：
首先，代入 $ x = 0 $ 得到的形式為 $ \frac{0}{0} $，符合洛必達法則的條件。我們對分子和分母分別求導：
現在我們得到新極限：
由於分子中的項 $ \cos\left(\frac{1}{x}\right) $ 會反覆震盪，而 $ 2x \sin\left(\frac{1}{x}\right) $ 趨近於零，因此，極限不存在。但是實際上，原極限存在並等於 0，計算非常簡單。