2024年美國數學競賽12年級組A卷P25：合適的一試P8

題目 滿足$y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$的影像關於直線$y=x$對稱, $|a|,|b|,|c|,|d|\le5$ 且$c,d$不全為$0$的整陣列$(a,b,c,d)$個數為
$\textbf{(A) }1282\qquad\textbf{(B) }1292\qquad\textbf{(C) }1310\qquad\textbf{(D) }1320\qquad\textbf{(E) }1330$

解 分類討論.
$1^{\circ}$ 當$c=0$時, $y=\dfrac{ax+b}{d}$為線性函式, 則影像關於直線$y=x$對稱要麼影像與之重合, 要麼與之垂直, 前者要求$b=0,$ $a=d\neq0,$ 後者要求$a=-d\neq0,$ 故陣列個數為$10+11\times10=120.$
$2^{\circ}$ 當$c\neq0$時, $y=\dfrac{1}{c}\left(a+\dfrac{bc-ad}{cx+d}\right).$ 當$bc-ad=0$時函式為常函式, 影像不可能與直線$y=x$對稱, 因此$bc-ad\neq0,$ 此時影像透過反比例函式平移得到, 則其關於$y=x$對稱當且僅當$y=x$過雙曲線中心點$\left(\dfrac{a}{c},\dfrac{-d}{c}\right).$ 因此此時影像關於$y=x$對稱當且僅當$a=-d$且$bc-ad\neq0.$
(1)$a=-d=0$時, $c\neq0,$ $b\neq0,$ 因此陣列個數為$10\times 10=100.$
(2)$a=-d=\alpha,$ $\alpha\in\{\pm1,\pm3,\pm4,\pm5\},$ $c\neq0,$ 且$bc\neq -\alpha^2,$ 因此$(b,c)\neq(-\alpha,\alpha),(\alpha,-\alpha),$ 因此陣列個數為$8\times (10\times 11-2)=864.$
(3)$a=-d=\pm2,$ $c\neq0,$ 且$bc\neq -4,$ 因此$(b,c)\neq(-1,4),(1,-4),(-2,2),(2,-2),(-4,1),(4,-1),$ 因此陣列個數為$2\times (10\times 11-6)=208.$
因此總陣列個數為$120+100+864+208=1292.$ 選$\textbf{(B) }.$