Disjoint set(並查集) data structure

不相交集合（disjoint-set datastructure）資料結構又被稱為並查集（union-find data structure）資料結構。 

涉及到將n 個不同的元素分成一組不相交的子集合（disjoint subset）。  所謂的不相交（disjoint）， 又被稱為nonoverlapping subset。 並查集（亦稱為不相交集合） support 2個重要的operations：

 （1）Find (x)操作： 尋找給定的元素屬於哪一個（唯一的）子集合。 這個Find 操作的返回的含有x的子集合S中 一個能夠代表這個子集合S的item(一般是S的最小的成員)。 我們可以通過比較2個Find 操作， 即find(x) 和 find(y) 來比較x 和 y 是否在同一個子集合中。

（2）Union 操作： 將兩個subset 合併成一個更大的subset。

除了上述的兩個操作， 還有一個操作叫做makeSet(x), 該操作的作用是建立一個新的集合， 它的唯一的成員（因而為代表）是x。因為各個集合是不相交的， 所以x 不會出現在別的集合中。

具有上述三個重要的關於並查集合的操作， 那麼眾多的partition problem 都能夠得到解決。

建立一個disjoint-set data structure 的最簡單的方法就是對於每一個set, 我們用linked list 實現它。 每一個list  的head 的element  作為代表代表著這個list（當然也就是代表著這個subset）。 

 makeSet 操作就是建立一個具有one element的 list 。 Union 操作就是將2個list 合併稱為一個list。 這是一個時間複雜度為O（1）的操作（constant-time operation）。

然而使用連結串列去實現每一個子集合的缺點就是導致Find 操作的時間複雜度為O（n）。 

不相交集合森林（disjoint-set forests）

所謂的Disjoint-set forest, 就是將每一個set 用樹結構（tree data structure）（不一定是二叉樹， 也可能是多叉樹） 實現（represented。 樹的每一個節點都holds a reference to its parrent node。 這是由 Bernard A. Galler and Michael J. Fischer 在1964年發明的。

在disjoint-set forest中， 每一個set 的representative 就是由這個set而建立起來的樹的根節點， Find 操作 是沿著parent nodes， 直至到達the root。 Union 是將一棵樹的根節點和另一棵樹的根節點合併起來。 組成一棵更大的樹。

相關的操作的實現過程如下：

上面使用樹， 樹的每個成員均指向它的父節點， 且每棵樹根是這棵樹的代表， 並且是其自己的父節點。 但是使用樹的這種表示的 直接演算法並不比使用連結串列 的直接演算法快， 因為我們建的樹的結構 是一棵高度不平衡（highly unbalanced）的樹，  但是通過引入兩種啟發式的策略（“按秩合併”（Union by rank） 和 “路徑壓縮”（path compression））, 我們可以得到一種漸進最優的 不相交集合 資料結構。

（1）策略一： 按秩合併(Union by rank)

這個方法是將一棵較小樹（即節點數少）的根結點 連線到 具有較大的樹的根節點上（attach the smaller tree to the root of the larger tree）。  因為影響各個操作（演算法）的是樹的深度， 所以將較小的樹新增到更深的樹的根上 並不會增加秩除非這兩個數的深度相同（秩會增加1）。

之所以使用“秩”這個術語而不是用“深度”， 是因為如果同時使用了路徑壓縮的策略， 秩 將不會與高度相同。 氮元素的秩 定義為0。 兩棵秩同為r 的樹合併為一個大樹的時候， 他們的秩為r + 1. 只使用按秩合併這個策略， 將會使得makeSet 和 Union 以及 Find 操作的最壞情況下的時間複雜度為O（logn）。 優化後的makeSet 和 Union 的虛擬碼如下：

第二個優化演算法被稱為“路徑壓縮”。 這個優化策略是， 每當我們對樹結構執行Find操作的時候， 我們就使用路徑壓縮策略對flattening the structure of the tree 。 關鍵是在路徑上的每個節點都可以直接連線到根上。 為了達到扁平化樹結構的效果， Find 向上遞迴的traverse樹， 改變每一個節點的引用（parent Reference）到根節點（）root。 最終我們會得帶一個much flatter 的樹。 對以後直接或者間接的引用這些節點加速。  改進後的Find操作如下：

 

關於Union-Find data structure 的實現

實現演算法程式碼如下：

例如， 具體的， 如下：