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空間拓撲關係描述:9交叉模型(DE-9IM) | 會飛的大象
DE-9IM 空間關係模型 - 烏合之眾 - 部落格園
DE-9IM 空間關係模型 與Boost Geometry Lib - SuperVan - 部落格園
簡述
DE-9IM 是Dimensionally Extended 9-Intersection Model的縮寫，它是Egenhofer在《point set topological spatial relations》中提出的，用於描述兩個二維幾何物件（點、線、面）之間的空間關係的一種模型，它使用一個 3 x 3 的矩陣來描述幾何關係類別（相交部分的維度）。
維度（Dimension）的定義
dim是dimension的縮寫，指的是維度。在計算幾何中，維度是幾何要素的重要資訊之一，透過維度，可以進行一些判斷。比如，高維度的要素(比如線)，是不可能within在低維度的要素中的(比如點)。再比如，兩個要素的交集的維度不會超過兩者維度中最小者。在geos中(以及其他類似系統)：
- 多邊形的維度是2，含組合多邊形，帶洞多邊形等。
- 折線的維度為1，含多線。
- 點的維度為0，含多點。
- 空集(無交集)維度為F。
講到這裡，我們有必要了解不同型別的幾何物件的內部，邊界，外部各指的是什麼。
內部，邊界，外部的定義
對於多邊形，內部是多邊形的外環和內環圍起來的面部分，邊界由內環和外環構成，外部是除內部和邊界以外的空間其他所有部分。
對於線要素，邊界是線首尾節點(中間節點不算)，內部是線上除了首尾節點之外的部分。外部是空間除了內部與邊界的部分。
點要素的內部是點本身，其邊界是空集，外部是除了點本身外的空間其他部分。當然，對於點與其他要素的拓撲關係，我們通常習慣用“點在物件上”、“點不在物件上”進行描述，而且，在空間關係的計算上，也會按照這樣的思路設計演算法。我的意思是，對於點的拓撲關係處理一般先判斷“點是否在物件上”然後填充9交叉模型矩陣的，而不是像多邊形之間的關係判斷。
空間關係
相離（Disjoint）
相離關係就是兩個幾何物件相互獨立，二者之間沒有任何相接觸到的地方。形象的說，比如一張紙上畫了兩個多邊形（或者點或線），你可以再畫一條線把它們分開，而且這條畫的線可以不碰到這兩個多邊形。
相交（Intersects）
相交是指兩物件的內部或邊界存在交集，相交關係廣泛的存在於點、線、面三種物件之間，同時它也包含了其他種類的拓撲關係。
包含（Contains）
包含表示一個幾何物件完全在另一個幾何物件內部。
下面圖是紅色幾何物件包含（Contains）了藍色幾何物件的在其裡頭的示意圖。
點不可能包含線和麵，線也不可能包含面在裡頭，所以有三個位置是X。
被包含（Within）
被包含（Within）一般也描述為在什麼內部（所以也有用inside的），表示一個幾何物件完全處於另一個幾何物件內部。這個其實就是包含（Contains）的反向關係。
就是說 A Within B 就等於是 B Contains A。
下面圖是紅色幾何物件被包含（Within）在藍色幾何物件裡頭的示意圖。
等於（Equals）
等於（Equals）表示兩幾何物件完全一致（包括形狀和位置），是一種完全重合的情況。
下面圖是紅色幾何物件等於（Equals）藍色幾何物件的示意圖。
橫跨（Crosses）
橫跨關係一般又叫做交叉或者跨立，這裡我還是覺得橫跨比較合適。
橫跨關係一定是建立線上與線或者線與面之間（可以理解為線才能夠橫在別的形狀上嘛）。
下面圖是紅色幾何物件橫跨（Crosses）在藍色幾何物件的上面的示意圖。
重疊（Overlaps）
重疊（Overlaps）表示兩個幾何物件物件之間有一部分是重合的情況（完全重合就是Equals了）。
重疊只發生線上-線、面-面之間，線與面只能是Crosses、Within或者Touches，點沒有長度和麵積（就是不存在部分，不可以分割），不可能Overlaps。
下面圖是紅色幾何物件重疊（Overlaps）在藍色幾何物件上的示意圖。
觸碰（Touches）
觸碰（Touches）這個一般又叫做接觸或者觸及，表示兩個幾何物件的邊界部分有重合部分的情況，也就是說兩個幾何物件有公共點或者公共邊線的情況。
點和點之間是沒有Touches關係，點和線與面的觸碰關係一定是點線上的端點或者面的邊上。
線和麵兩種形狀之間的Touches關係可能是有公共點，也可能是有公共邊。
DE-9IM 模型
DE-9IM模型圖示
DE-9IM模型把幾何物件分為內部、邊界、外部三個部分，兩個幾何物件這三個部分兩兩之間的關係，就可以組合為一個3X3大小（就是9個值）的矩陣，這9個值的組合，就表示兩個幾何物件的空間關係。
| DE-9IM | 內部 (Interior) | 邊界 (Boundary) | 外部 (Exterior) |
|---|---|---|---|
| 內部 (Interior) |  |
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| 邊界 (Boundary) |  |
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| 外部 (Exterior) |  |
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如上圖所示，淡紫色的多邊形為條件幾何物件（A），淡紅色的多邊形為測試幾何物件（B），圖中的黑色部分表示兩個幾何物件對應的部分（內部、邊界、外部）之間的相交（或者說重合）部分（A.[I/B/E] intersection B.[I/B/E]）。
DE-9IM模型的布林形式
9交叉模型交集矩陣的定義域為{F,0,1,2}，那麼一共可能有49種可能的拓撲關係。簡單的考慮到外部與外部的交集的維度一定是2 ，那麼可能的拓撲關係仍有89種，考慮很多種關係是矛盾的，剩下的組合仍然很多。這與我們希望直觀，簡單的表達拓撲關係的目標相差甚遠。實際上，常見的拓撲關係描述符大概10種左右。為了方便描述這些關係，可以對矩陣的定義域做補充：
- 0,1,2表示非空，用T進行表示；
- 空集仍然用F表示；
- 引入*表示是什麼都可以，geos中為“DONTCARE”
我們常用的拓撲關係描述符，就是採用上述6種型別描述出來的。
常用拓撲關係描述
Intersects
相交是指兩物件的內部或邊界存在交集，對應下面四種Intersection Matrix
就是說 對應Interior,Boundary的2×2的部分任意一個單元是T就可以了，其他的都“DONTCARE”。注意，這些矩陣都是對稱的。
Disjoint
相離就是不相交，因此對應於相交的“Interior,Bountry 任意存在交集”，相離的定義是Interior,Boundary均不存在交集。
，這個矩陣也是對稱的。
Contains
A.Contains(B)表示B完全在A內部。即A,B的interior相交併且 B的Interior與Boundary均不與A的exterior相交。
Within
Within 與Contains互為轉置。A.Contains(B) = B.Within(A)。為什麼叫互為轉置呢，這是因為within的相交矩陣是Contains矩陣的轉置就好了。
Equal
Equal表示的是A和B的形狀完全相同(但是，並不代表他們所有的座標都是完全一樣的。A或者B都可能有冗餘的座標，比如多點共線)。Equal的交集矩陣是內部相交，但任意一方的內部與邊界均不與對方的外界相交
Overlap
疊置判斷對A與B的維度有要求，要求A與B的維度相同，並且要求A與B的內部的交集的維度與AB的維度相同。因為多邊形(面)之間的交集，點之間的交集均與他們的維度相同，線之間的交集可能會是點，線兩種情況，所以特別將線與面、點之間的矩陣進行了區分,要求線的內部交集為線。
面、點的疊置矩陣：
線疊置矩陣:
Touch
Touch表示的是兩個幾何要素之間的臨接關係。touch關係的要點是：
兩個元素的內部(interior)不能有交集,但是內部與邊界，邊界與邊界可以有交集。
參與的兩種元素不能同時為點型別。(點沒有邊界，內部與內部不相交變成相離了)
三個矩陣中，前兩個互為轉置關係，最後一個是對稱矩陣。所以說這個關係也是對稱的。
Cross
穿越的定義是A與B的內部有交集，但交集的維度要比A與B最大的維度要小。按照這個標準，點點與面面不可能存在cross關係，因為他們內部的交集的維度與他們的維度是相同的。同樣，對於線線的交集要區別對待，指定其內部的交集為0(而不是1)。
非線線交集矩陣：
線線交集矩陣：
對拓撲關係的分析：從矩陣的角度
從上述9交叉模型矩陣的表達上，能分析出很多資訊。
1. 如果交集矩陣是對稱的，那麼對應的拓撲關係滿足交換律的。
A.Relation(B)=B.Relation(A)
可以交換的拓撲關係有(對應矩陣對稱)：
Intersects, Disjoint, Equal, Overlap, Touch, Cross(線線)
不可以交換的拓撲關係有：
Contains, Within, Cross(非線線)
2. 如果兩個關係矩陣互為轉置，那麼這兩個關係可以調換位置
A.Relation1(B)=B.Relation2(A)。滿足條件的關係有：
Contains, Within
3. 如果兩個矩陣互補，那麼兩種關係也是互斥關係。滿足條件的關係有
Intersects, Disjoint
4. 拓撲關係之間的關係
上述8種關係並全不是互斥的，元素A,B可以同時滿足多種拓撲關係。可以將這些拓撲關係的“關係”使用韋恩圖來描述：
