【Google】25匹馬的角逐

問題是這樣的：一共有25匹馬，有一個賽場，賽場有5個賽道，就是說最多同時可以有5匹馬一起比賽。假設每匹馬都跑的很穩定，不用任何其他工具，只通過馬與馬之間的比賽，試問最少 得比多少場才能知道跑得最快的5匹馬。

 

注意： "假設每匹馬都跑的很穩定" 的意思是在上一場比賽中A馬比B馬快，則下一場比賽中A馬依然比B馬快。

 

稍微想一下，可以採用一種 競標賽排序(Tournament Sort)的思路。 見《選擇排序 》

 

(1) 首先將25匹馬分成5組，並分別進行5場比賽之後得到的名次排列如下：

              A組：  [A1  A2  A3   A4  A5]

              B組：  [B1  B2  B3   B4  B5]

              C組：  [C1  C2  C3  C4  C5]

              D組：  [D1  D2  D3  D4  D5]

              E組：  [E1  E2  E3   E4  E5]

      其中，每個小組最快的馬為[A1、B1、C1、D1、E1]。

(2) 將[A1、B1、C1、D1、E1]進行第6場，選出第1名的馬，不妨設 A1>B1>C1>D1>E1. 此時第1名的馬為A1。

(3) 將[A2、B1、C1、D1、E1]進行第7場，此時選擇出來的必定是第2名的馬，不妨假設為B1。因為這5匹馬是除去A1之外每個小組當前最快的馬。

(3) 進行第8場，選擇[A2、B2、C1、D1、E1]角逐出第3名的馬。

(4) 依次類推，第9，10場可以分別決出第4，5名的嗎。

 

因此，依照這種競標賽排序思想，需要10場比賽是一定可以取出前5名的。

 

 

仔細想一下，如果需要減少比賽場次，就一定需要在某一次比賽中同時決出2個名次，而且每一場比賽之後，有一些不可能進入前5名的馬可以提前出局。 當然要做到這一點，就必須小心選擇每一場比賽的馬匹。我們在上面的方法基礎上進一步思考這個問題，希望能夠得到解決。

 

(1) 首先利用5場比賽角逐出每個小組的排名次序是絕對必要的。

(2) 第6場比賽選出第1名的馬也是必不可少的。假如仍然是A1馬(A1>B1>C1>D1>E1)。那麼此時我們可以得到一個重要的結論：有一些馬在前6場比賽之後就決定出局的命運了(下面粉色字型標誌出局)。

       A組：  [A1  A2  A3   A4  A5]

       B組：  [B1  B2  B3   B4  B5 ]

       C組：  [C1  C2  C3  C4  C5 ]

       D組：  [D1  D2  D3  D4  D5 ]

       E組：  [E1  E2  E3   E4  E5 ]

(3) 第7場比賽是關鍵，能否同時決出第2，3名的馬呢？我們首先做下分析：

     在上面的方法中，第7場比賽[A2、B1、C1、D1、E1]是為了決定第2名的馬。但是在第6場比賽中我們已經得到(B1>C1>D1>E1)，試問？有B1在的比賽，C1、D1、E1還有可能爭奪第2名嗎？ 當然不可能，也就是說第2名只能在A2、B1中出現。實際上只需要2條跑道就可以決出第2名，剩下C1、D1、E1的3條跑道都只能用來湊熱鬧的嗎？

     能夠優化的關鍵出來了，我們是否能夠通過剩下的3個跑道來決出第3名呢？當然可以，我們來進一步分析第3名的情況？

     ● 如果A2>B1(即第2名為A2)，那麼根據第6場比賽中的(B1>C1>D1>E1)。 可以斷定第3名只能在A3和B1中產生。

     ● 如果B1>A2(即第2名為B1)，那麼可以斷定的第3名只能在A2, B2,C1 中產生。

     好了，結論也出來了，只要我們把[A2、B1、A3、B2、C1]作為第7場比賽的馬，那麼這場比賽的第2，3名一定是整個25匹馬中的第2，3名。

     我們在這裡列舉出第7場的2，3名次的所有可能情況：

     ①  第2名=A2，第3名=A3

     ②  第2名=A2，第3名=B1

     ③  第2名=B1，第3名=A2

     ④  第2名=B1，第3名=B2

     ⑤  第2名=B1，第3名=C1

 

(4)  第8場比賽很複雜，我們要根據第7場的所有可能的比賽情況進行分析。

      ①  第2名=A2，第3名=A3。那麼此種情況下第4名只能在A4和B1中產生。

           ● 如果第4名=A4，那麼第5名只能在A5、B1中產生。

           ● 如果第4名=B1，那麼第5名只能在A4、B2、C1中產生。

           不管結果如何，此種情況下，第4、5名都可以在第8場比賽中決出。其中比賽馬匹為[A4、A5、B1、B2、C1]

      ②  第2名=A2，第3名=B1。那麼此種情況下第4名只能在A3、B2、C1中產生。

           ● 如果第4名=A3，那麼第5名只能在A4、B2、C1中產生。

           ● 如果第4名=B2，那麼第5名只能在A3、B3、C1中產生。

           ● 如果第4名=C1，那麼第5名只能在A3、B2、C2、D1中產生。

           那麼，第4、5名需要在馬匹[A3、B2、B3、C1、A4、C2、D1]七匹馬中產生，則必須比賽兩場才行，也就是到第9場角逐出全部的前5名。

      ③  第2名=B1，第3名=A2。那麼此種情況下第4名只能在A3、B2、C1中產生。

           情況和②一樣，必須角逐第9場

      ④  第2名=B1，第3名=B2。 那麼此種情況下第4名只能在A2、B3、C1中產生。

           ● 如果第4名=A2，那麼第5名只能在A3、B3、C1中產生。

           ● 如果第4名=B3，那麼第5名只能在A2、B4、C1中產生。

           ● 如果第4名=C1，那麼第5名只能在A2、B3、C2、D1中產生。

            那麼，第4、5名需要在馬匹[A2、B3、B4、C1、A3、C2、D1]七匹馬中產 生，則必須比賽兩場才行，也就是到第9場角逐出全部的前5名。

        ⑤  第2名=B1，第3名=C1。那麼此種情況下第4名只能在A2、B2、C2、D1中產生。

            ● 如果第4名=A2，那麼第5名只能在A3、B2、C2、D1中產生。

            ● 如果第4名=B2，那麼第5名只能在A2、B3、C2、D1中產生。

            ● 如果第4名=C2，那麼第5名只能在A2、B2、C3、D1中產生。

            ● 如果第4名=D1，那麼第5名只能在A2、B2、C2、D2、E2中產生。

             那麼，第4、5名需要在馬匹[A2、B2、C2、D1、A3、B3、C3、D2、E1]九匹馬中 產 生，因此也必須比賽兩場，也就是到第9長決出勝負。

 

 

總結：最好情況可以在第8場角逐出前5名，最差也可以在第9場搞定。