轉自：大資料文摘 | bigdatadigest

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獨立心靈的力量被高估了……真正的力量源自於
外部能提高認知能力的幫助。

——唐納德

本文重點研究演算法。然而，這裡討論的技術適用於更廣泛的問題空間：數學公式、動態系統、過程等。基本上，任何需要理解程式碼的地方。

那麼，為什麼要視覺化演算法呢？甚至為什麼要去視覺化呢？這篇文章將告訴你，如何利用視覺去思考。

演算法是視覺化中一種迷人的用例。要將一種演算法視覺化，我們不只是將資料擬合到圖表中，況且也沒有主要的資料集。相反的是有描述行為的邏輯規則。這可能是演算法視覺化是如此不尋常的原因，因為設計師可以嘗試這種新奇的形式來更好地溝通。這就是來研究它們的充分的理由。

但是，演算法也提醒人們——視覺化不僅僅只是一種在資料中尋找模式的工具。視覺化利用人類的視覺系統，以增加人類的智慧。這樣，我們就可以用它來更好地瞭解這些重要的抽象過程以及其他事情。

取樣

在解釋第一個演算法之前，我首先需要解釋它要解決的問題。

梵高的《星夜》

光（電磁輻射），從這個螢幕上發出的光，穿過空氣，由你的晶狀體聚焦，並投射到視網膜上，這是一個連續的訊號。要被感知，我們必須通過測量其在空間中的不同點的強度和頻率分佈把光訊號降低到離散脈衝。

這種還原過程被稱為取樣，它對視覺至關重要。你可以把它理解為——一個畫家應用不同的顏色，採用離散的筆觸形成影象（特別是點畫或點彩派）。取樣其實是計算機圖形學的核心關注點，例如，為了通過光線追蹤來柵格化3D場景，我們必須確定在何處拍攝光線。甚至調整影象大小也需要取樣。

取樣會因為各種因素的矛盾性而變得困難。一方面要保證取樣點要均勻分佈，不要有間隙，另一方面要避免重複取樣或有規律地取樣（否則會產生混疊）。這就是為什麼你不應該在照相時穿細條紋襯衫：條紋與相機感測器中的畫素網格產生共振，從而造成莫爾條紋（Moiré patterns）。

圖片來源：retinalmicroscopy.com

這是一張人類視網膜周邊的顯微照片。較大的錐形細胞檢測顏色，而較小的杆細胞改善低光視覺。

人類的視網膜有一個出色的解決方案，在其感光細胞的位置取樣。細胞密集和均勻地覆蓋著視網膜（除了視神經上方的盲點），然而細胞的相對位置是不規則的。這被稱為泊松盤分佈，因為它保持了細胞之間的最小距離，避免遮擋而浪費光感受器。

但是構造一個泊松盤分佈是困難的，因此有一個簡單的叫做 Mitchel的近似演算法，它是最佳候選演算法。

從這些點可以看出，最佳候選取樣產生了讓人愉快的隨機分佈。這不是沒有缺陷：在一些地區有太多的樣本（過取樣），而在其他地區是不夠的（欠取樣）。但它相當好，同樣重要的是容易實施。

以下是它的工作原理：

對於每個新樣本，最佳候選演算法生成固定數量的候選取樣點，用灰色表示（在這裡，這個數為10）。從取樣區域均勻地選擇每個候選取樣點。

最佳候選者，以紅色顯示，是離所有先前樣本（以黑色顯示）最遠的一個。從每個候選取樣點到最接近的樣本的距離由相關聯的線和圓圈表示：注意在灰色或紅色圓圈內部沒有其他樣本。在建立所有候選取樣點並測量距離之後，最佳候選取樣點成為新樣本，並且丟棄剩餘候選取樣點。

▼程式碼如下所示：

function sample() {

  varbestCandidate, bestDistance = 0;

  for(var i = 0; i < numCandidates; ++i) {

   var c = [Math.random() * width, Math.random() * height],

       d = distance(findClosest(samples, c), c);

   if (d > bestDistance) {

       bestDistance = d;

        bestCandidate = c;

}

  }

 return bestCandidate;

}

正如我解釋了上面的演算法，我會讓程式碼獨立出來。（另外，這篇文章的目的是讓你通過視覺化學習程式碼）。但我會明確一些細節：

其中numCandidates表示一次生成的候選取樣點個數。這個引數讓你以質量換取速度。numCandidates越小，演算法執行速度越快。相反，numCandidates越大，演算法執行速度越慢，但是取樣質量越高。

▼distance函式是簡單幾何：

function distance(a, b) {

  vardx = a[0] - b[0],

     dy = a[1] - b[1];

 return Math.sqrt(dx * dx + dy * dy);

}

如果你想的話，在這裡可以忽略開平方（sqrt），因為它是一個單調函式，並且，它不改變最佳候選取樣點的結果。

findClosest函式返回距離當前候選取樣點最近的取樣點。我們可以使用暴力搜尋來實現，即對每一個現有的取樣點進行迭代。或者，可以讓搜尋加速，如利用四叉樹搜尋演算法。暴力搜尋實現簡單，但非常慢（時間複雜度太高）。而加速方式要快得多，但需要做更多的工作來實現。

談到權衡——在決定是否使用一個演算法，我們不是憑空評估它，而是將其與其他方法進行比較。作為一個實際問題，權衡實施的複雜性：需要多久來實現、維護難度，對於衡量它的效能和質量是十分有用的。

▼最簡單的替代方法是均勻隨機取樣——

function sample() {

 return [random() * width, random() * height];

}

它看起來是這樣的：

統一隨機是相當糟糕的。存在嚴重的欠取樣和過取樣：許多樣本點擁擠在一起，甚至重疊，導致大的空區域（當每次取樣的候選取樣點的數量被設定為1時，均勻隨機取樣也代表最佳候選演算法的質量的下限）。

除了通過取樣點的分佈規律來鑑別取樣質量，我們還可以嘗試通過根據最接近的樣本的顏色對影象著色來在不同的取樣策略下模擬視覺。這實際上是取樣點的Voronoi圖，其中每個單元由相關樣品著色。

通過6667個均勻隨機取樣後的《星夜》看起來是怎樣的？

這種方法的弊端也很明顯。取樣點分佈不均導致每個單位在尺寸大小上變化很大，和預期的不均勻取樣點分佈一樣。細節丟失嚴重是因為密集取樣點（小單元）沒有充分利用起來。同時，稀疏取樣點（大單元）通過誇大稀有色彩（例如左下角的粉紅色）引入了噪音。

現在來看看最佳候選取樣：

好多了！雖然仍然隨機放置，但單元的大小更一致。儘管樣品的數量（6667）保持不變，但由於它們均勻分佈，保留了更多的細節和引入了更少的噪聲。如果你眯著眼睛，幾乎可以弄清楚原來的筆觸。

我們可以使用Voronoi圖來更直觀地研究樣本分佈，通過根據其面積給每個單元上色。較暗的單元較大，表示稀疏取樣; 較淺的單元較小，表明密集取樣。最佳圖案具有幾乎均勻的顏色，同時保持不規則的取樣位置。（顯示單元面積分布的直方圖也是很好的，但是Voronoi具有同時顯示取樣位置的優點）。

這是同樣的6667個取樣點的不均勻隨機取樣：

黑點是取樣點之間的大空隙，可能是由於欠取樣導致的視覺區域性缺陷。相同數量的最佳候選樣品在單元面積中表現出小得多的變化，並且因此著色更一致：

我們能做得比最佳候選演算法更好嗎？是的! 我們不僅可以用不同的演算法產生更好的樣本分佈，而且這種演算法更快（線性時間）。它至少像最佳候選演算法一樣容易實現。這種演算法甚至可以擴充套件到任意維度。

這個奇蹟叫做Bridson的泊松盤取樣演算法，它看起來像這樣：

該演算法的功能明顯不同於其他兩個——它充分利用現有采樣點逐步生成新的取樣點，而不是在整個取樣區域隨機生成新的取樣點。這使其進展具有準生物學外觀，如在培養皿中分裂的細胞。注意，也沒有采樣點彼此太接近；這是定義由演算法實施的泊松盤分佈的最小距離約束。

這就是它的工作原理：

紅點表示“活躍”取樣點。在每次迭代中，從所有活躍取樣點的集合中隨機選擇一個。然後，在圍繞所選取樣點的環內隨機生成一些數量的候選取樣點（用空心黑點表示）。環從半徑r延伸到2r，其中r是樣本之間的最小允許距離。

來自現有采樣點的距離r內的候選取樣點被拒絕；這個“禁止區”以灰色顯示，用黑線連線將被拒絕的候選取樣點和附近的現有采樣點。網格加速每個候選取樣點的距離檢查。網格尺寸r /√2確保每個單元可以包含至多一個取樣點，並且僅需要檢查固定數量的相鄰單元。

如果候選取樣點是可以接受的，它被新增作為一個新的取樣點，然後隨機選擇一個新的活躍取樣點。如果沒有一個候選取樣點是可以接受的，所選擇的活躍取樣點被標記為無效（顏色從紅色變為黑色）。當沒有采樣點保持活躍時，該演算法終止。

面積用著色表示的Voronoi圖顯示了泊松盤取樣演算法相對於最佳候選演算法的改進，沒有深藍色或淺黃色細胞：

泊松盤取樣下的《星夜》最大地保留了細節和引入了最少的噪音。它讓人想起美麗的羅馬馬賽克：

現在，你已經看到了一些例子，讓我們簡要地思考一下為什麼要把演算法視覺化。

▼娛樂

我發現視覺化的演算法有無窮的魅力，甚至令人著迷。特別是在涉及隨機性時。雖然這看似是一個牽強的理由，但不要低估了快樂的價值！此外，儘管這些視覺化甚至在不理解基礎演算法的情況下也可以參與，但是掌握演算法的重要性可以給出更深的理解。

▼教學

你發現程式碼或動畫更有幫助嗎？虛擬碼（ 不能編譯的程式碼的委婉語）怎麼樣？ 雖然形式描述在明確的文件中有它的位置，視覺化可以使直觀的理解更容易。

▼除錯

你有沒有實現基於形式描述的演算法？ 可能很難！ 能夠看到你的程式碼在做什麼可以提高生產力。 視覺化不能取代測試需求，但測試主要用於檢測故障而不是解釋它。即使輸出看起來正確，視覺化還可以在實現過程中發現意外的表現（參看Bret Victor的《可學習的程式設計》和為了優秀的相關工作的《發明原理》）。

▼學習

即使你只是想為自己學習，視覺化會是一個很好的方式來得到深刻的理解。教學是最有效的學習方法之一，實現視覺化就像教自己。我發現看到它，而不是熟記小而容易忘記細節的程式碼，更容易直觀地記住一個演算法。

洗牌

洗牌是隨機重新排列一組元素的過程。例如，你可以在打牌之前洗牌。一個好的洗牌演算法是無偏的，其中每個排序都有相同的可能性。

Fisher-Yates shuffle是一個最佳的洗牌演算法。 它不僅是無偏的，而且線上性時間內執行，使用恆定的空間，並且易於實現。

▼程式碼如下——

function shuffle(array) {

  varn = array.length, t, i;

 while (n) {

    i= Math.random() * n-- | 0; // 0 ≤ i < n

    t= array[n];

   array[n] = array[i];

   array[i] = t;

  }

 return array;

}

以上是程式碼，下面是一個視覺化的解釋：

每一條線代表一個數字，數字小向左傾斜，數字大就向右傾斜。（請注意，你可以對一組任何東西進行洗牌，不只是數字，但這種視覺化編碼對於顯示元素的順序很管用。它的靈感來自於Robert Sedgwick的《用C語言實現的演算法》中的排序視覺化。

該演算法把陣列劃分為兩個部分，右半邊是已洗牌區域（用黑色表示），左半邊是待洗牌區域（用灰色表示）。每一步從左邊的待洗牌區域隨機選擇一個元素並將其移動到右側，已洗牌區域元素數量擴大了1個。左半邊的初始順序不必保留，這樣給已洗牌區域的新元素提供了空間，該演算法可以簡單地講元素交換到位。最終所有的元素都被洗牌，演算法終止。

如果Fisher–Yates是一個很好的演算法，那麼一個不好的演算法是什麼樣的？

▼這是一個——

//不要這麼做！

function shuffle(array) {

 return array.sort(function(a, b) {

    return Math.random() - .5; // ಠ_ಠ

  });

}

這種方法利用排序通過指定隨機比較器函式來洗牌。比較器定義元素的順序。它使用引數a和b （要比較的陣列中的兩個元素），如果a小於b，則返回小於零的值，如果a大於b，則返回大於零的值，如果a和b相等，則返回0。比較器在排序期間重複呼叫。

如果不給array.sort指定一個比較器，元素按照字典序列排序。

在這裡，比較器返回一個在-0.5和+0.5之間的隨機數。假設這定義了一個隨機順序，那麼排序會隨機地混雜元素並實施好的洗牌。

不幸的是，這個假設是有缺陷的。隨機成對順序（對於任何兩個元素）不會為一組元素建立隨機順序。比較器必須遵守傳遞性：如果a> b和b> c，則a> c。但隨機比較器返回一個隨機值，違反了傳遞性，並導致array.sort的行為是未定義的！可能你會有運氣，也可能沒有。

它怎麼不好呢？我們可以通過視覺化輸出來試著回答這個問題：

該演算法不好的另一個原因是排序需要O（n lg n）時間，使得它顯著地慢於只需要O（n）時間的Fisher-Yates演算法。但是速度缺陷比偏差缺陷小。

這可能看起來是隨機的，因此你可能會得出結論，隨機比較器洗牌足夠好了，並不再關注偏差，看作是迂腐的。但看起來可能會誤導！有許多對人眼來說看起來是隨機的，但實際上是非隨機的。

這種欺騙表明視覺化不是一個魔術棒。演算法的單次執行顯示不能有效地評估其隨機性的質量。我們必須仔細設計一個視覺化來解決手頭的具體問題：演算法的偏差是什麼？

為了顯示偏差，我們必須首先定義它。一個定義是基於在洗牌之後索引i處的陣列元素將在洗牌之後處於索引j的概率。如果演算法是無偏的，則每個元素在洗牌結束後出現在每個索引處的概率相等，因此所有i和j的概率相同：1 / n，其中n是元素的數量。

分析計算這些概率是困難的，因為它取決於知道使用的確切排序演算法。但是根據經驗計算是很容易的：我們簡單地洗牌數千次，並計數索引j處元素i的出現次數。該概率矩陣的有效顯示是矩陣圖：

 

矩陣的列（水平位置）表示在洗牌之前的元素的索引，而行（垂直位置）表示洗牌之後的元素的索引。概率用顏色編碼：綠色單元表示正偏差，其中元素出現地比我們對無偏差演算法的預期更頻繁；同樣紅色單元表示負偏差，其發生頻率低於預期。

如上所示，Chrome中的隨機比較器洗牌結果是令人驚訝的是平庸。部分陣列僅弱偏置。然而，它在對角線下方表現出強的正偏置，這表示將元素從索引i推到i + 1或i + 2的趨勢。第一行、中間行和最後一行也有奇怪的行為，這可能是Chrome使用“三中值”的快速排序的結果。

無偏的Fisher–Yates演算法看上去是這樣的：

除了由於經驗測量的少量噪聲之外，在該矩陣中沒有可見的規律。（如果需要，可以通過進行額外的測量來降低噪聲。）

隨機比較器洗牌的行為在很大程度上取決於瀏覽器。不同的瀏覽器使用不同的排序演算法，並且不同的排序演算法與（破壞了的）隨機比較器表現非常不同。這裡是隨機比較器在Firefox上洗牌的結果：

這是非常失偏的！所得到的陣列通常幾乎沒有洗過牌，如該矩陣中的強綠色對角線所示。這並不意味著Chrome的排序是比Firefox的“更好”，它只是意味著不應該使用隨機比較器洗牌。隨機比較器從根本上被破壞了。

排序

排序是洗牌的逆過程——它從無序建立順序，反之亦然。這使得排序成為更困難的問題，要為不同的權衡和約束設計各種解決方案。

最知名的排序演算法之一是快速排序。

Quicksort首先通過選擇一個基準將陣列分成兩個部分。 左半部包含所有小於基準的元素，而右半部包含大於基準的所有元素。在陣列分割槽後，快速排序在左右兩部分內遞迴。當每個部分只包含一個元素時，遞迴停止。

分割槽操作使得只在陣列的活動部分上進行單一操作。類似於Fisher-Yates通過交換元素遞增地建立洗牌區，分割槽操作遞增地構建子陣列的較小（左）和較大（右）部分。當每個元素被訪問時，如果它小於基準，它被交換到較小部分; 如果它大於基準，則分割槽操作移動到下一個元素。

▼程式碼如下所示——

function quicksort(array, left, right) {

  if(left < right - 1) {

   var pivot = left + right >> 1;

   pivot = partition(array, left, right, pivot);

   quicksort(array, left, pivot);

   quicksort(array, pivot + 1, right);

  }

}

 

function partition(array, left, right,pivot) {

  varpivotValue = array[pivot];

 swap(array, pivot, --right);

  for(var i = left; i < right; ++i) {

   if (array[i] < pivotValue) {

     swap(array, i, left++);

    }

  }

 swap(array, left, right);

 return left;

}

快速排序有很多版本。上面顯示的是最簡單也是速度最慢的一個。這種變化對於教學是有用的，但是在實踐中，為了得到更好的效能應用了更復雜的實現方法。

常見的改進是“三中值”樞軸選擇，其中第一，中間和最後元素的中值被用作基準。這傾向於選擇更接近真實中值的基準，導致類似大小的左半部分和右半部分以及遞迴層數更少。另一個優化是對於陣列的小部分來說，從快速排序切換到插入排序，由於函式呼叫的開銷問題這可以更快。

一個特別聰明的變化是Yaroslavskiy的雙基準快速排序，它將陣列分為三個部分，而不是兩個。這是Java和Dart中的預設排序演算法。

上面的排序和洗牌動畫有不錯的屬性，那就是時間對映到時間：我們可以簡單地觀察演算法如何進行。但是雖然直觀，動畫也可以讓人在看的時候感到沮喪，特別是如果我們想關注偶然的、奇怪的演算法的行為。動畫也嚴重依賴我們的記憶來觀察行為模式。雖然通過控制以暫停和擦洗時間來改進動畫，但是同時展示一切的靜態顯示甚至可以更有效。眼睛掃描比手動要快。

將動畫轉換為靜態顯示的一種簡單方法是從動畫中選擇關鍵幀，並按順序顯示，如同漫畫一樣。如果我們在關鍵幀之間刪除冗餘資訊，我們會更有效地使用空間。更密集的顯示可能需要更多的研究來理解，但是可以更快地掃描，因為眼睛移動較少。

下面，每一行顯示遞迴之前的陣列的狀態。第一行是陣列的初始狀態，第二行是第一次分割槽操作之後的陣列，第三行是第一個分割槽的左右部分再次被分割槽之後的陣列等等。實際上，這是廣度優先快速排序，其中左右兩側的分割槽操作並行進行。

與之前一樣，每個分割槽操作的基準以紅色突出顯示。請注意，在下一級遞迴處，基準將變為灰色：分割槽操作完成後，關聯的基準處於其最終的排序位置。顯示的總深度是遞迴的最大深度，給出了快速排序執行如何有效的感覺。它在很大程度上取決於輸入和基準選擇。

快速排序的另一個靜態顯示，密度較小但可能更容易讀，將每個元素表示為彩色線，並顯示每個順序交換。（這種形式是受到Aldo Cortesi的排序視覺化的啟發。）更小的值顏色更輕，更大的值顏色更深。

現在已經看到了同一演算法的三種不同的視覺展示：動畫、稠密靜態展示和稀疏靜態展示。每種形式都有各自的優缺點。動畫看起來有趣，但靜態的視覺化允許仔細檢查，而不用著急。稀疏展示可能更容易理解，但密集展示除了顯示細節之外，還顯示演算法行為的“巨集觀”檢視。

在我們繼續下去之前，讓我們將快速排序與另一個眾所周知的排序演算法——歸併排序進行對比。

▼下列為歸併排序的程式碼——

function mergesort(array) {

  varn = array.length, a0 = array, a1 = new Array(n);

  for(var m = 1; m < n; m <<= 1) {

   for (var i = 0; i < n; i += m << 1) {

     var left = i,

         right = Math.min(i + m, n),

         end = Math.min(i + (m << 1), n);

     merge(a0, a1, left, right, end);

    }

    i= a0, a0 = a1, a1 = i;

  }

  if(array === a1) {

   for (var i = 0; i < n; ++i) {

     array[i] = a0[i];

    }

  }

}

function merge(a0, a1, left, right, end) {

  for(var i0 = left, i1 = right; left < end; ++left) {

   if (i0 < right && (i1 >= end || a0[i0] <= a0[i1])) {

     a1[left] = a0[i0++];

    }else {

     a1[left] = a0[i1++];

    }

  }

}

下面是相關的動畫展示：

正如你可能從程式碼或動畫中推測的，歸併排序採用了一種與快速排序非常不同的排序方法。快速排序通過執行交換就地執行，與快速排序不同，歸併排序需要額外的陣列副本。這個額外的空間用於歸併排序的子陣列，把來自子陣列的每對元素組合在一起，同時保持順序。由於歸併排序執行副本而不是交換，因此我們必須相應地修改動畫（或有誤導讀者的風險）。

歸併排序自下而上進行。最初，它合併大小為1的子陣列，因為它們經過了排序。每個相鄰的子陣列：首先，只是一對元素，使用額外的陣列合併為大小為2的排序子陣列。然後，將大小為2的每個相鄰排序子陣列合併成大小為4的排序子陣列。每次遍歷整個陣列後，歸併排序將排序子陣列的大小加倍：8，16，等等。最終，這個加倍合併了整個陣列，演算法終止。

因為歸併排序在陣列上執行重複遍歷而不是像快速排序那樣遞迴，並且因為每次遍歷使排序的子陣列的大小加倍，而不考慮輸入，所以更容易設計成靜態展示。我們只需在每次合併後顯示陣列的狀態。

讓我們再花一點時間來想想我們所看到的。這裡的目標是研究演算法的行為而不是特定的資料集。但仍然有資料，這是必然的，因為資料是從演算法的執行而匯出的。這意味著我們可以使用派生資料的型別來將演算法視覺化分類。

▼第0級/黑盒

最簡單的類，只顯示輸出。不解釋演算法的操作，但它仍然可以驗證正確性。通過將演算法視為黑盒，可以更容易地比較不同演算法的輸出。黑盒視覺化還可以與更深入的輸出分析結合，例如上面顯示的隨機偏移矩陣圖。

▼第1級/灰盒

許多演算法（雖然不是全部）增量地構建輸出。隨著它的程式，通過視覺化過程中間的輸出，開始看到演算法是如何工作的。這解釋了更多而不必引入新的抽象概念，因為過程中間和最終輸出共享相同的結構。然而，這種型別的視覺化會產生比它可以回答的更多的問題，因為它沒有解釋為什麼演算法做它要做的事。

▼第2級/白盒

為了回答“為什麼”這個問題，白盒視覺化暴露演算法的內部狀態以及其中間過程輸出。這種型別有最大的潛力來解釋，但也對讀者是最大的負擔，因為內部狀態的意義和目的必須清楚地描述。這裡有一個風險，額外的複雜性會壓垮讀者；分層資訊可以使圖形更容易獲得。最後，由於內部狀態高度依賴於特定演算法，這種型別的視覺化通常不適合於比較演算法。

還有實現演算法視覺化的實際問題。通常不能只是執行程式碼；必須有辦法捕獲它以便視覺化（檢視本文的原始碼示例）。甚至可能需要與視覺化交叉執行，這對於捕獲遞迴演算法的堆疊狀態尤其具有挑戰性。語言解析器如Esprima可以通過程式碼檢測方便地實現演算法視覺化，將執行程式碼與視覺化程式碼完全分離。

迷宮的生成

最後一個問題，我們會看下的是迷宮生成。本節中的所有演算法生成二維矩形網格的生成樹。這意味著沒有迴圈，並且存在從左下角的根到迷宮中的每個其他單元的唯一路徑。

我為如此深奧的主題而感到歉意。我不知道為什麼這些演算法是有用的，除了簡單的遊戲，可能是關於電氣網路。但即使如此，它們從視覺化視角看也很迷人，因為它們以非常不同的方式解決了同樣的有高度約束的問題。

觀看它們真有趣。

隨機遍歷演算法初始化左下角的迷宮的第一個單元。該演算法然後跟蹤迷宮可以擴充套件的所有可能的方式（以紅色標示）。在每個步驟，隨機挑選這些可能的擴充套件中的一個，只要這不重新連線它與另一個部分的迷宮，該迷宮就會延伸擴充套件。

像Bridon的泊松盤取樣演算法一樣，隨機遍歷保持前沿，並從邊界中隨機選擇進行擴充套件。因此，兩種演算法似乎都像真菌一樣有機地生長。

隨機深度優先遍歷遵循一個非常不同的模式：

不是每次都選擇一個新的隨機通道，該演算法總是在隨機方向上延伸最深的通道，一個最長的回到根的通道。因此，隨機深度優先遍歷分支，僅噹噹前路徑是個死結時，進入迷宮的較早時的分支。要繼續，它會回溯，直到它可以開始一個新的分支。這種蛇狀的探索導致迷宮帶有明顯更少的分支和更長的蜿蜒通道。

Prim的演算法構造最小生成樹，具有加權邊緣的圖的生成樹具有最低的總權重。 該演算法可以用於通過隨機初始化邊緣權重來構建隨機生成樹：

在每個步驟中，Prim的演算法使用連線到現有迷宮的最低加權邊緣（潛在方向）擴充套件迷宮。如果該邊緣將形成環路，則其被丟棄，然後考慮次最低加權邊緣。

Prim的演算法通常使用堆來實現，這是用於對元素進行優先順序排序的有效資料結構。 當一個新的單元格加入迷宮時，連線的邊緣（以紅色標示）被新增到堆。儘管邊以任意順序新增，堆允許快速除去最低加權邊。

最後，這是一個最不尋常的例子：

Wilson的演算法使用迴圈擦除隨機遊走來生成統一的生成樹，是所有可能的生成樹的無偏差樣本。我們看到的其他迷宮生成演算法缺乏這個美麗的數學屬性。

該演算法用任意起始單元初始化迷宮。然後，新的單元格被加入迷宮，啟動隨機遊走（用紅色標示）。繼續隨機遊走，直到它重新連線到現有的迷宮（用白色標示）。然而，如果隨機遊走本身相交，則在隨機遊走繼續之前擦除所得到的迴圈。

最初，演算法看著可能令人沮喪地慢，因為早期隨機遊走不可能與小的現有迷宮重新連線。隨著迷宮增長，隨機遊走變得更可能與迷宮碰撞，並且演算法加速顯著。

這四種迷宮生成演算法的工作方式截然不同。然而，當動畫結束時，所得到的迷宮彼此件難以區分。動畫可用於顯示演算法如何工作，但無法顯示生成的樹結構。

一種顯示結構，而不是過程的方法是用顏色填充迷宮：

顏色編碼樹深度——回到在左下角的根的路徑的長度。隨著越深入樹，顏色標度迴圈；當一個深路徑迴圈回鄰近一個淺路徑時，這偶爾會誤導，但更高的對比度允許更好的區域性結構的分化。（這不是一個傳統的彩虹色標，名義上被認為有害，但立方體的彩虹具有改善的感知效能的能力。）

我們可以通過減去牆，進一步強調迷宮的結構，減少視覺噪聲。下面的圖中，每個畫素表示通過迷宮的路徑。如上所述，路徑通過深度著色，隨著時間的推移，顏色像潮水一樣更深入迷宮。

顏色的同心圓，像領帶染色襯衫，揭示隨機遍歷產生許多分支路徑。然而，每條路徑的形狀不是特別有趣，因為它往往以直線回到根。因為隨機遍歷通過從邊界隨機採集來擴充套件迷宮，路徑從來沒有被給予很多蜿蜒的自由 - 它們最終與增長的邊界碰撞並且由於對迴圈的限制而終止。

另一方面，隨機深度優先遍歷都是關於蜿蜒的：

這個動畫以之前那個50倍的速度進行。這種加速是必要的，因為由於分支有限，隨機深度優先遍歷迷宮比隨機遍歷迷宮深得多。可以看到，在任何特定深度的活動分支通常只有一個，很少有多個。

下面，用隨機圖演示Prim的演算法：

這更有趣！同時擴充套件的小花的顏色顯示基本的分支，並且有比隨機遍歷更復雜的全域性結構。

Wilson的演算法儘管操作很不同，卻似乎產生了非常相似的結果：

只是因為它們看起來相同並不意味著它們相同。儘管外觀上一樣，Prim的演算法在隨機加權圖不生成統一的生成樹（據我所知，證明這是我的專業領域之外）。視覺化有時會由於人為錯誤而會誤導。早期版本的Prim的顏色洪水有一個錯誤，顏色標度旋轉的速度是預期的兩倍；這表明Prim和Wilson的演算法產生了非常不同的樹，而事實上它們看起來相似多於差異。

由於這些迷宮是生成樹，也可以使用專門的樹來視覺化地顯示結構。為了說明迷宮和樹之間的對偶性，這裡由Wilson的演算法生成的迷宮的通道（以白色標示）逐漸變換成整潔的樹佈局。與其他動畫一樣，它從深度開始，從根開始進一步擴充套件到葉子：

為了進行比較，我們再來看看隨機深度優先遍歷產生的擁有長通道和小分枝的樹。

兩棵樹具有相同數量的節點（3239）並且被縮放以適合相同區域（960×500個畫素）。這隱藏了一個重要的區別：在這個尺寸上，隨機深度優先遍歷通常產生比Wilson的演算法深兩到五倍的樹。上面的樹的深度分別為315和1338。在用於顏色洪水的更大的480000節點的迷宮中，隨機深度優先遍歷產生的樹深10到20倍！

利用視覺來思考

本文重點研究演算法。然而，這裡討論的技術適用於更廣泛的問題空間：數學公式、動態系統、過程等。基本上，任何需要理解程式碼的地方。

那麼，

——為什麼要視覺化演算法呢？為什麼要視覺化一些東西？

——利用人的視覺系統，可以提高理解。或者更簡單地說，利用視覺去思考。

來源：https://bost.ocks.org/mike/algorithms/