數學純粹是邏輯性的！
但數學的教學、它的價值、它的用途和它的運作方式充滿了細微差別。
那麼什麼是“好”數學呢？
作為菲爾茲獎、數學突破獎和麥克阿瑟獎學金的獲得者陶哲軒是當今最受尊敬、最多產的數學家之一。他與quantamagazine主持人兼數學家史蒂文·斯特羅加茨 (Steven Strogatz)一起重新審視優秀數學的構成。
1、數學是客觀的還是主觀的？
陶哲軒教授在討論中表示：數學所做的事情是建立基礎聯絡，例如笛卡爾座標建立了幾何和代數兩個不同上下文視角之間的聯絡，數學研究者如同盲人摸象中的盲人，都持有從不同上下文視角。
我們一開始都是盲目的，我們只是看著柏拉圖洞穴上的影子，後來才意識到...
那麼，數學是否如同大象，一開始就一直存在那裡，是一種客觀規律，而我們是盲人，人們只是從不同角度去發現它而已，數學不是人類自己的發明嗎？
看來，陶哲軒是相信數學是客觀存在，而不是主觀的。
主持人史蒂文追問：我們正在試圖看到一些獨立於人類而存在的東西。這真的是你所相信的嗎？
陶哲軒：當你數學學得好時，你不僅僅是在使用符號。你確實覺得它指向一些你想要理解的實際物體，而我們擁有的所有方程都只是這種物體的近似值或陰影。重點是，為了真正實現做數學的目的，相信它是真實的會有所幫助。
（banq注：其實這個物體是人心中的上帝而已，人類思維中缺陷是必須預設主語、上帝，數學家也不例外，陶哲軒可能自己沒有意識到這點，這是語言文字遊戲的魅力）
我們在數學中看到的複雜性常常是我們自身侷限性造成的
2、為什麼定義”什麼是好的數學“很重要？
陶哲軒：有時有人會說一些讓我不舒服的話，比如，“這個數學沒有應用，因此它沒有價值。” 或者“這個證明太複雜了；因此它沒有價值，”諸如此類。
根據我的經驗，當我理解不同的觀點、不同領域的人思考數學的不同方式並將其應用於我關心的問題時，最好的數學就會出現。
我關於如何正確使用數學、如何運用數學的經驗與這些非常不同——有點像“做數學的唯一真正方法”。
我覺得必須以某種方式提出這一點。數學確實有多種方法，但數學仍然是統一的。
主持人史蒂文：你的興趣廣度似乎與你接受不同見解、來自所有不同的數學好方法的不同有價值的想法的廣度有關。
陶哲軒：數學家有兩種型別：有刺蝟和狐狸。
- 狐狸是對一切事物都略知一二的人。
- 刺蝟是一種非常非常瞭解一件事的生物
兩者都不比另一個更好。他們相輔相成。
在數學領域，你需要的是某個子領域真正的深度領域專家，並且他們對某一學科瞭如指掌。
另外，數學領域還需要能夠看到一個領域與另一個領域之間聯絡的人。
所以我肯定是一隻狐狸，但我和很多刺蝟一起工作。我最引以為豪的工作往往就是這樣的合作。
（banq注：好的數學是跨不同上下文 的數學研究？）
陶哲軒：15年以來，數學文化正在發生很大的變化。我已經對數學有了一個廣闊的視野，現在我有了更廣闊的視野。
非常具體的例子是：計算機輔助證明在2007年仍然存在爭議。
[托馬斯]黑爾斯建立了一種完整的計算機語言來正式驗證這個特定的證明，但多年來它沒有被接受為真正的證明。但它說明了需要計算機輔助來驗證的證明概念是多麼有爭議。
從那以後的幾年裡，出現了很多很多其他證明的例子，人類可以將複雜的問題簡化為仍然需要計算機來驗證的問題。
現在，計算機輔助證明（也稱為形式驗證）已被廣泛接受。
現在，我認為，下一個文化轉變將是人工智慧生成的證據是否會被接受。目前，人工智慧工具還沒有達到可以生成證明來真正推進數學問題的水平。
但在某個時候，我們將開始看到人工智慧輔助的論文問世，並且將會出現一場爭論。
也許人工智慧的影響之一是讓業餘數學家能夠為數學做出有意義的貢獻。
（banq注：數學家最核心的工作數學證明過程即將被人工智慧替代，目前已經被形式驗證軟體替代）
3、民間數學家藉助大模型做陳景潤？
主持人史蒂文：業餘愛好者可能會在人工智慧的幫助下，要麼提出好的新問題，要麼幫助對現有問題進行良好的探索，諸如此類？
陶哲軒：現在有一些專案可以形式化大定理的證明，稱為形式化證明助手，它們就像計算機語言一樣，可以 100% 驗證定理是否正確以及是否已被證明。這實際上使得數學領域的大規模合作成為可能。
在過去，如果你與其他 10 個人合作證明一個定理，並且每個人都貢獻一步，那麼每個人都必須驗證其他人的數學。因為數學的特點是，如果其中一個步驟出現錯誤，整個事情就會崩潰。
所以你需要信任，所以——這實際上阻礙了數學領域的大規模合作。但現在已經有一些成功的例子，真正的大定理被形式化，有一個巨大的社群，他們並不互相認識，他們並不互相信任，但他們透過上傳到一些 Github 儲存庫或諸如論證中各個步驟的單獨證明之類的東西。
而形式證明軟體會驗證一切，因此您無需擔心信任問題。
因此，我們正在啟用新的協作模式，這是我們過去從未見過的。
（banq注：科學和數學將從象牙塔神殿供奉中走到世俗民間，創新將湧現。）
4、大模型時代科學將回歸民間？
主持人史蒂文：這是一個令人著迷的想法。你不會聽到“公民數學家”這個詞。你聽說過公民科學（民科、民間科學家），但為什麼沒有聽說過公民數學呢？
陶哲軒：我希望人工智慧可以幫助簡化數學的解釋和證明。
已經有了實驗性軟體，例如，如果您採用已經形式化的證明，您實際上可以將其轉換為互動式人類可讀文件，您可以在其中獲得證明並看到高階步驟，如果有一個句子你不明白你可以雙擊它，它會展開成更小的步驟。很快我認為你也可以讓一個人工智慧聊天機器人坐在你旁邊，當你完成證明時，他們可以回答問題，他們可以解釋每一步，就好像他們是作者一樣。我認為我們已經非常接近這個目標了。
我們必須改變我們教育學生的方式，特別是現在我們佈置作業等的許多傳統方式，我們幾乎已經到了這些人工智慧工具可以立即回答我們許多標準考試問題的地步。
我們需要教給學生新的技能，比如如何驗證人工智慧生成的輸出是否正確以及如何獲得第二意見。
5、陶哲軒閱讀維基百科做數學
我之所以可以使用維基百科來做數學，是因為我已經瞭解了足夠多的數學知識，我可以聞到維基百科中的數學內容是否可疑。
你會獲得一些論據來源，其中一個來源將比另一個來源更好。我認識作者，並且知道哪一篇參考文獻對我來說更適合。
如果我使用維基百科來了解一個我沒有經驗的主題，那麼我認為它更像是一個隨機變數。
訪談最後部分，陶哲軒談了自己如何幫助醫學成像領域的成功案例：我意識到我做出了一個不正確的假設，然後我意識到它實際上可以起作用。
（banq注：人們陷入不同上下文 中，每個上下文都基於一個預設假設，而這個假設是陷入上下文中的人們無法認識到的，陶哲軒作為醫學成像領域的旁觀者，立即意識到自己做了一個不正確的假設，可能受到所在領域專家的誤導。）
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