徹底理解樣本方差為何除以n-1

    設樣本均值為，樣本方差為，總體均值為，總體方差為，那麼樣本方差有如下公式：

    很多人可能都會有疑問，為什麼要除以n-1，而不是n，但是翻閱資料，發現很多都是交代到，如果除以n，對樣本方差的估計不是無偏估計，比總體方差要小，要想是無偏估計就要調小分母，所以除以n-1，那麼問題來了，為什麼不是除以n-2、n-3等等。所以在這裡徹底總結一下，首先交代一下無偏估計。

無偏估計

    以例子來說明，假如你想知道一所大學裡學生的平均身高是多少，一個大學好幾萬人，全部統計有點不現實，但是你可以先隨機挑選100個人，統計他們的身高，然後計算出他們的平均值，記為。如果你只是把作為整體的身高平均值，誤差肯定很大，因為你再隨機挑選出100個人，身高平均值很可能就跟剛才計算的不同，為了使得統計結果更加精確，你需要多抽取幾次，然後分別計算出他們的平均值，分別記為：然後在把這些平均值，再做平均，記為：，這樣的結果肯定比只計算一次更加精確，隨著重複抽取的次數增多，這個期望值會越來越接近總體均值，如果滿足，這就是一個無偏估計，其中統計的樣本均值也是一個隨機變數，就是的一個取值。無偏估計的意義是：在多次重複下，它們的平均數接近所估計的引數真值。

    介紹無偏估計的意義就是，我們計算的樣本方差，希望它是總體方差的一個無偏估計，那麼假如我們的樣本方差是如下形式：

那麼，我們根據無偏估計的定義可得：

    由上式可以看出如果除以n，那麼樣本方差比總體方差的值偏小，那麼該怎麼修正，使得樣本方差式總體方差的無偏估計呢？我們接著上式繼續化簡：

到這裡得到如下式子，看到了什麼？該怎修正似乎有點眉目。

    如果讓我們假設的樣本方差乘以，即修正成如下形式，是不是可以得到樣本方差是總體方差的無偏估計呢？

則：

    因此修正之後的樣本方差的期望是總體方差的一個無偏估計，這就是為什麼分母為何要除以n-1。