淺談全概率公式和貝葉斯公式

一、條件概率公式

    舉個例子，比如讓你背對著一個人，讓你猜猜背後這個人是女孩的概率是多少？直接猜測，肯定是隻有５０％的概率，假如現在告訴你背後這個人是個長頭髮，那麼女的概率就變為９０％。所以條件概率的意義就是，當給定條件發生變化後，會導致事件發生的可能性發生變化。

    條件概率由文氏圖出發，比較容易理解：

    表示B發生後A發生的概率，由上圖可以看出B發生後，A再發生的概率就是，因此：

由：

得：

這就是條件概率公式。

假如事件A與B相互獨立，那麼：

注：

相互獨立：表示兩個事件發生互不影響。而互斥：表示兩個事件不能同時發生，（兩個事件肯定沒有交集）。互斥事件一定不獨立（因為一件事的發生導致了另一件事不能發生）；獨立事件一定不互斥，（如果獨立事件互斥， 那麼根據互斥事件一定不獨立，那麼就矛盾了），但是在概率形式上具有一些巧合性，一般地：

但是，對於兩個獨立事件，依然可以等於0，因為事件A或者事件B發生的概率可能為0.所以，並不是一定表示互斥。互斥和獨立的理解還是要究其真正意義，而不是表達形式。

二、全概率公式

    先舉個例子，小張從家到公司上班總共有三條路可以直達（如下圖），但是每條路每天擁堵的可能性不太一樣，由於路的遠近不同，選擇每條路的概率如下：

每天上述三條路不擁堵的概率分別為：

假設遇到擁堵會遲到，那麼小張從Home到Company不遲到的概率是多少？

其實不遲到就是對應著不擁堵，設事件Ｃ為到公司不遲到，事件為選擇第i條路，則：

    全概率就是表示達到某個目的，有多種方式（或者造成某種結果，有多種原因），問達到目的的概率是多少（造成這種結果的概率是多少）？

全概率公式：

    設事件是一個完備事件組，則對於任意一個事件Ｃ，若有如下公式成立：

那麼就稱這個公式為全概率公式。

三、貝葉斯公式

    仍舊借用上述的例子，但是問題發生了改變，問題修改為：到達公司未遲到選擇第１條路的概率是多少？

可不是，因為０．５這個概率表示的是，選擇第一條路的時候並沒有靠考慮是不是遲到，只是因為距離公司近才知道選擇它的概率，而現在我們是知道未遲到這個結果，是在這個基礎上問你選擇第一條路的概率，所以並不是直接就可以得出的。

故有：

所以選擇第一條路的概率為０．２８．

    貝葉斯公式就是當已知結果，問導致這個結果的第i原因的可能性是多少？執果索因！

貝葉斯公式：

在已知條件概率和全概率的基礎上，貝葉斯公式是很容易計算的：