T241104

只会加减乘除發表於2024-11-04

[T241104] (Carathéodory) $(\Omega,\mathscr M,\mu^*)$ 是完備測度空間, 其中 $\mu^*$ 是 $\Omega$ 上的外測度, $\mathscr M$ 為 $\Omega$ 的 $\mu^*-$可測子集全體.
Proof: 先證明 $(\Omega,\mathscr M,\mu^*)$ 是測度空間, 再證明它是完備的 (若所有測度為零的集及其子集都是可測的, 則該測度空間完備).
(Step1.) 證明 $(\Omega,\mathscr M,\mu^*)$ 是測度空間

先證明 $\mathscr M$ 是 $\Omega$ 上的一個 $\sigma $ 代數.
- $\mathscr M$ 非空.
  事實上, 對 $\forall E\subset\Omega$, 注意到 $\mu^*(\varnothing)=0$, 於是
  
  \[\begin{aligned} \mu^*(E) &= \mu^*(\varnothing)+\mu^*(E)\\ &=\mu^*(E\cap\varnothing)+\mu^*(E\cap\varnothing^c)\\ &=\mu^*(E\cap\Omega^c)+\mu^*(E\cap\Omega) \end{aligned} \]
  即 $\varnothing,\Omega$ 滿足 Carathéodory 條件, 從而 $\varnothing,\Omega\in\mathscr M$, 即 $\mathscr M$ 非空.
- $\mathscr M$ 對於補集運算封閉.
  事實上, 對 $\forall A\in\mathscr M,~\forall E\subset\Omega$, 有
  
  \[\begin{aligned} \mu^*(E) &=\mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\cap A^c)\\ &=\mu^*(E\cap A^c)+\mu^*(E\cap (A^c)^c) \end{aligned} \]
  即 $A^c\in\mathscr M$, 故 $\mathscr M$ 對於補運算封閉.
- $\mathscr M$ 對於可列並封閉.
  - 先證明 $\mathscr M$ 對於有限交運算封閉.
    設 $A,B\in\mathscr M$, 則對 $\forall E\subset \Omega$, 有
    
    \[\begin{aligned} \mu^*(E)&=\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A^c\cap E)\\ =&\mu^*(A\cap E)+\mu^*(B\cap(A^c\cap E))+\mu^*(B^c\cap(A^c\cap E))\\ =&\mu^*(A\cap E)+\mu^*((B\cap A^c)\cap E)+\mu^*(B^c\cap(A^c\cap E))\\ =&\mu^*\left(A\cap(A\cup(B\cap A^c))\cap E\right)+\mu^*((B\cap A^c)\cap(A\cup(B\cap A^c))\cap E)\\ &+\mu^*(B^c\cap(A^c\cap E))\\ =&\mu^*((A\cup(B\cap A^c))\cap E)+\mu^*(B^c\cap(A^c\cap E))\\ =&\mu^*((A\cup B)\cap E)+\mu^*((A\cup B)^c\cap E)\\ \end{aligned} \]
    即 $A\cup B\in\mathscr M$, 於是 $\mathscr M$ 對於有限交運算封閉.
  - 再證明 $\mathscr M$ 對於可列並封閉, 注意到 $\mathscr M$ 對於補運算和有限交運算封閉, 因此只需驗證 $\mathscr M$ 對於不交可列並封閉.
    設 $\{A_n\}_1^{+\infty}$ 是 $\mathscr M$ 中不相交集列, 令
    
    \[S_n:=\bigcup_{k=1}^nA_k,\quad A:=\bigcup_{k=1}^{+\infty}A_k \]
    由 $\mathscr M$ 對於補運算和有限交運算封閉可知 $S_n=(\cap_{k=1}^nA_k^c)^c\in\mathscr M$, 再結合外測度的單調性知
    
    \[\begin{aligned} \mu^*(E)&=\mu^*(E\cap S_n)+\mu^*(E\cap S_n^c)\\ &\ge\mu^*(E\cap S_n)+\mu^*(E\cap A^c)\\ &=\mu^*((E\cap S_n)\cap S_{n-1})+\mu^*((E\cap S_n)\cap S_{n-1}^c)+\mu^*(E\cap A^c)\\ &=\mu^*(E\cap S_{n-1})+\mu^*(E\cap A_n)+\mu^*(E\cap A^c)\\ &=\mu^*(E\cap S_{n-2})+\mu^*(E\cap A_{n-1})+\mu^*(E\cap A_n)+\mu^*(E\cap A^c)\\ &=\cdots\cdots\\ &=\left(\sum_{k=1}^n\mu^*(E\cap A_k)\right)+\mu^*(E\cap A^c) \end{aligned} \]
    令 $n\to\infty$, 有
    
    \[\begin{aligned} \mu^*(E)&\ge\left(\sum_{k=1}^{\infty}\mu^*(E\cap A_k)\right)+\mu^*(E\cap A^c)\\ &\ge\mu^*\left(\bigcup_{n-1}^{\infty}(E\cap A_n)\right)+\mu^*(E\cap A^c)\\ &=\mu^*\left(E\cap A\right)+\mu^*(E\cap A^c) \end{aligned} \]
    因此 $A\in\mathscr M$, 即 $\mathscr M$ 對不交可列並封閉, 從而 $\mathscr M$ 對於可列並運算封閉.
綜上, $\mathscr M$ 是 $\Omega$ 上的一個 $\sigma $ 代數.
再證明 $\mu^*$ 是 $\mathscr M$ 上的測度.
- 由外測度的定義知 $\mu^*(\varnothing)=0$ 且 $\mu^*$ 非負.
- $\mu^*$ 滿足可列可加性.
  由 $\mathscr M$ 對於可列並運算封閉的證明可知: 設 $\{A_n\}_1^{+\infty}$ 是 $\mathscr M$ 中任意不相交集列, 對 $\forall E\subset\Omega$, 有
  
  \[\mu^*(E\cap (\cup_{k=1}^nA_i))=\sum_{k=1}^n\mu^*(E\cap A_k) \]
  令 $E=\Omega$, 得
  
  \[\mu^*\left(\bigcup_{k=1}^nA_k\right)=\sum_{k=1}^n\mu^*(A_k) \]
  從而 $\mu^*$ 滿足有限可加性, 又 $\mu^*$ 滿足次可列可加性, 故 $\mu^*$ 在 $\mathscr M$ 上滿足可列可加性.
  
  有限可加性和次可列可加性結合等價於可列可加性. 詳見:https://www.cnblogs.com/sufewsj/p/18511991
綜上, $\mu^*$ 是 $\mathscr M$ 上的測度.

綜上, $(\Omega,\mathscr M,\mu^*)$ 是測度空間.

(Step2.) 最後證明 $(\Omega,\mathscr M,\mu^*)$ 是完備測度空間. 由 $\mathscr M$ 的定義知 $\mathscr M$ 包含所有的 $\mu^*-$ 零測度集. #