理所當然也能錯，數學界震動：「上下鋪猜想」被證偽
机器之心發表於2024-11-02
數學的很大一部分是由直覺驅動的，但有時想當然會讓人誤入歧途。早期的證據可能並不代表大局，一個陳述可能看起來很明顯，但一些隱藏的微妙之處會自行顯露出來。三位數學家現在已經證明，機率論中一個著名的假設，即雙層床猜想（bunkbed conjecture）就屬於這一類。這個猜想 —— 關於當數學迷宮（稱為圖、graphs）像雙層床一樣堆疊在一起時，你可以用不同的方式導航 —— 這似乎是自然的，甚至是不言而喻的。「我們的大腦告訴我們的任何事情都表明，這個猜想應該是正確的，」普林斯頓大學圖論學家 Maria Chudnovsky 說道。- 論文連結：https://arxiv.org/abs/2410.02545
但這就是錯誤的。上個月，三位數學家宣佈了一個反例，反駁了這一猜想。這一結果為解決固體材料性質相關物理問題提供了新的指導。但它也涉及了關於數學如何運作的更深層次的問題。大量的數學努力都花在試圖證明猜想是正確的上。這項新工作的團隊在最終找到反例之前失敗了很多次。他們的故事表明，數學家可能需要更頻繁地質疑他們的假設。在 1985 年，一位名叫 Pieter Kasteleyn 的荷蘭物理學家想要用數學方法證明液體如何在多孔固體中流動。他的工作使他提出了雙層床猜想。要理解這個理論，我們先從一張圖開始：一組由線或邊連線的點或頂點。現在複製一份該圖並將其直接放在原圖上方。在它們之間畫一些垂直柱子 —— 將底部圖上的一些頂點與頂部圖上的孿生頂點連線起來的附加邊。最終得到的結構類似於雙層床。接下來，我們考慮底部圖中的一條邊，開始拋硬幣。如果硬幣正面朝上，則擦除邊。如果硬幣反面朝上，則保留邊。對兩個圖中的每條邊重複此過程。你的下鋪和上鋪最終看起來會有所不同，但它們仍將透過垂直柱子連線起來。最後，在下部圖中選取兩個頂點。你能沿著圖的邊緣從一個頂點到達另一個頂點嗎？還是說這兩個頂點現在斷開了？對於任何圖，你都可以計算出存在路徑的機率。現在看看同樣的兩個頂點，但對於其中一個頂點，跳轉到頂部圖中它正上方的頂點。是否有一條路徑可以帶你從底部圖上的起始頂點到達頂部圖上的終止頂點？雙層床猜想認為，找到下鋪路徑的機率總是大於或等於找到跳到上鋪路徑的機率。無論你從哪個圖開始，在雙層床之間畫多少個垂直柱子，或者選擇哪個起始和結束頂點，都無關緊要。幾十年來，數學家們一直認為這是成立的。直覺告訴我們，在一個鋪位上尋路應該比去另一個鋪位的路徑更簡單 —— 從下鋪到上鋪所需的額外垂直跳躍應該會大大限制可用路徑的數量。數學家們希望雙層床猜想是真的。它屬於滲透理論領域的一類陳述，該理論處理在隨機刪除圖的邊後存在的路徑和簇。這些圖可以被認為是流體如何移動或滲透透過多孔材料的簡化模型，就像水透過海綿一樣。雙層床猜想則暗示了物理學中一個被廣泛接受的假設，即流體穿過固體的可能性。它還暗示瞭如何解決滲透物理學的相關問題。但只有當有人能證明雙層床猜想是正確的時候，這種情況才會發生。沒有人能證明這一點是有原因的。加州大學洛杉磯分校（UCLA）數學家 Igor Pak 一直懷疑雙層床猜想是否正確。「他從一開始就持懷疑態度，」他的一名研究生 Nikita Gladkov 說道。「他非常不相信舊猜想。」Pak 一直直言不諱地批評數學家們傾向於集中精力證明這些猜想。同樣重要的進步也可以來自設問「如果它們全都錯了怎麼辦？」Igor Pak 懷疑雙層床猜想還有一個特別的理由：它似乎是一個過於寬泛的說法。他懷疑這個猜想是否真的適用於所有可以想象的圖。有些猜想是由實質驅動的，有些則是由一廂情願的想法驅動的，雙層床猜想似乎是後者。 Nikita Gladkov 對每個圖表進行了詳盡的強力搜尋，以尋找反例。2022 年，他開始尋求反駁這一理論。他花了一年時間嘗試，但都以失敗告終。然後，他指示 Gladkov 使用計算機對他能找到的每一張圖進行詳盡的強力搜尋。Gladkov 意識到這項任務需要一些複雜的程式設計，於是請來了高中時就認識的朋友 Aleksandr Zimin（現在他是麻省理工學院的在讀博士）。「我們實際上是大學時的室友 —— 我們的宿舍裡有一張真正的雙層床，」Gladkov 說道。Gladkov、Pak 和 Zimin 能夠手動挨個檢查每個少於九個頂點的可能圖。在這些情況下，他們可以驗證上下鋪猜想成立。但對於更大的圖，可能情況的數量將會急劇增加，以至於他們無法窮盡所有可能的邊刪除方式或路徑形成方式。團隊隨後轉向 AI 領域，使用機器學習方法。他們訓練了一個神經網路來生成可能偏好向上跳躍的曲折路徑圖。在模型生成的許多示例中，他們發現下鋪路徑僅比上鋪路徑的機率略高一點。但模型未能找到任何反過來的例子。還有另一個問題出現了：神經網路生成的每個圖仍然很大，以至於數學家們無法逐一調查擲硬幣步驟的所有可能結果。團隊不得不計算在這些結果的子集上找到上下路徑的機率，就像民意調查透過抽樣部分選民來預測選舉結果一樣。數學家們意識到，他們可以對神經網路提供的任何反例有超過 99.99% 的信心確認其是正確的，但卻無法達到 100%。他們開始懷疑這種方法是否值得繼續追求。這樣的證明方式不太可能說服數學界，更不用說任何權威期刊會將其視為嚴謹的證明了。「博士生在現實中需要找工作，而不是理論上，」Pak 在他的部落格上寫道，而 Gladkov 和 Zimin 很快也將開始找工作。「這才是我們停下來的真正原因，」他接著說道。「當你可以嘗試做別的事情時，為什麼還要堅持並製造爭議呢？」他們放棄了他們的計算方法，但並未停止對這個問題的思考。在接下來的幾個月裡，他們專注於制定一個不需要計算機的理論論證。但他們仍然缺少完成它所需的所有拼圖。今年六月，劍橋大學的 Lawrence Hollom 在不同的背景下推翻了上下鋪問題的一個變體版本。這個版本的猜想不是關於圖，而是關於一種稱為「超圖」（hypergraphs）的物件。在超圖中，「邊」不再被定義為兩個頂點之間的連線線，而是可以任意數量的頂點間的連線線。Hollom 成功找到了這個猜想的反例。他建立了一個小型超圖，每條邊都連線三個頂點：Gladkov 偶然發現了這篇論文，意識到它正是他們三人所需要的。「我是在晚上發現的，讀到凌晨三點。我心想，『哇，這太瘋狂了，簡直令人難以置信，』」他說。他在睡前給 Zimin 發了簡訊，第二天兩人便通了電話。這時候考驗來了：他們是否可以將 Hollom 找到的反例重新構造成一個普通圖，從而推翻原來的上下鋪猜想？這其實並不是這對老朋友第一次考慮如何將超圖轉化為圖。去年年初，他們在一起參加演唱會前的不久就曾討論過這個問題。「當時紅辣椒樂隊（The Red Hot Chili Peppers）在臺上唱歌，而我卻在想著這個問題，」Gladkov 說。「我完全沒心思聽音樂。」後來，他們就開發出了在特定情況下將超圖轉化為圖的方法。他們意識到，現在他們終於可以使用這些技術來轉換 Hollom 的超圖。Gladkov、Pak 和 Zimin 將超圖中每條具有三頂點的邊替換為由大量點和普通邊組成的叢集。這使他們得到了一張巨大的圖，包含 7222 個頂點和 14422 條邊。然後，他們放棄了使用人工智慧的方法後，利用所構建的理論進行論證。在他們的這張圖中，找到上路徑的機率比找到下路徑高出
% ，這是一個極小但不為零的數值。普林斯頓大學數學家 Noga Alon 對此表示，他們的研究結果顯示了不應把任何事情視為理所當然的重要性。「我們必須保持懷疑，即便是那些直觀上看起來很可能為真的事情。」Gladkov、Pak 和 Zimin 在之後， 找到了許多滿足該猜想的小圖示例，但最終，這些示例並未反映在具有足夠多頂點和邊時他們能構建出的更復雜、更不直觀的圖中。正如 Hollom 所說：「我們真的像我們認為的那樣理解這些內容了嗎？」數學家們仍然相信激發了上下鋪猜想的關於固體內連線位置的物理陳述。但他們需要找到另一種方法來證明它。 Aleksandr Zimin 在大學期間與 Gladkov 同住一間宿舍，宿舍裡還有一張真正的上下鋪。與此同時，Pak 表示，很明顯，數學家需要更積極地討論數學證明的本質。他和同事最終並未依賴有爭議的計算方法，而是以完全確定的方式推翻了該猜想。但隨著計算機和 AI 方法在數學研究中的使用日益普及，一些數學家開始爭論該領域的規範是否需要改變。「這是一個哲學問題，」Alon 說道。「我們應如何看待那些僅在高機率下才能成立的證明？」「我認為未來的數學界會接受這樣的機率證明，」羅格斯大學的數學家 Doron Zeilberger 說道（這位數學家因在他本人許多的論文中將計算機列為合著者而聞名），「在 50 年內，或許更短，人們將有新的態度。」 Doron Zeilberger 常將他的計算機 Shalosh B. Ekhad 列為合著者，成為一樁趣事。其他人則擔心這樣的未來會威脅到某種重要的東西。「也許機率證明會讓你對事情的真實本質缺乏理解或直覺，」Alon 說道。Pak 建議隨著此類結果變得更加常見，應建立專門的期刊來發表這些研究結果，以免它們的價值被數學家們忽視。但他的主要目的是為了在數學界引發大討論。「沒有正確答案，」他說。「我希望數學界思考，下一次此類結果是否應該被視為有效。」隨著技術不斷滲透和改變數學領域，這個問題將變得更加緊迫。https://www.quantamagazine.org/maths-bunkbed-conjecture-has-been-debunked-20241101/https://www.reddit.com/r/math/comments/1fulfpu/the_bunkbed_conjecture_is_false/