勾股定理還能這樣證明？高中生一連發現10種證明方法，陶哲軒點贊

机器之心發表於2024-10-30
論文已上期刊，數學家表示讚歎。

幾千年過去了，勾股定理還能有新發現？而且還是被兩個高中生發現的？

這個人人都會的初中二年級數學知識，在學術領域居然有了新發展。本週二，UCLA 數學終身教授、菲爾茲獎得主陶哲軒在社交網路上的一番點贊引起了人們的興趣。
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陶哲軒表示，這是一篇有趣的論文，在簡單探討了兩種證明是否算是同一種證明的話題之後，他提醒我們：即使是最古老和最完善的數學基礎知識，有時也可以從新的角度重新審視。

在中國，周朝時期的商高提出了勾股定理的一個特例：「勾三股四弦五」。在西方，最早提出並證明此定理的為公元前六世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和。所以該定理也被稱為「畢達哥拉斯定理」。圖片
勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，至今已成為數學定理中證明方法最多的定理之一 —— 從微分證明到面積證明，有超過 400 種證明方法。
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兩位高中生一口氣發現了十種新方法，她們是如何證明的呢？
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論文作者，前高中生 Ne’Kiya Jackson 和 Calcea Johnson。

數學家讚歎：全新思路

故事要從 2022 年講起，那年美國高中生 Ne’Kiya Jackson 和 Calcea Johnson 在回答數學競賽的一道加分題時，發現了一種證明幾千年歷史勾股定理的新方法，令老師們讚歎不已。這僅僅是個開始。

她們寫道：「在 500 美元獎金的激勵下，我們決定獨立承擔這項任務。事實證明，這比我們最初想象的要難得多。為了得出一個證明，我們每個人都花了很多個漫長的夜晚，但都失敗了。經過大約一個月的腦力勞動，我們每個人都完成並提交了我們的工作。我們高中的數學志願老師 Rich 先生認為我們的證明足夠新穎，可以在數學會議上發表。我們當時對自己的工作都沒有那麼自信，但我們還是決定繼續下去。」

在接下來的兩到三個月裡，她們把所有的空閒時間都花在完善這些證明上。最終，她們獲得了成功。

她們所在的學校，新奧爾良聖瑪麗學院的一名志願者鼓勵她們將這個成果提交給專業會議。到 2023 年 3 月，他們成為在亞特蘭大舉行的美國數學學會東南分會會議上發言的最年輕的人。

她們表示：「令我們驚訝的是，我們的高中作業得到了認真對待，我們獲准在 2023 年 3 月的美國數學學會東南分會會議上發言。作為會上最年輕的人和最年輕的演講者，我們很害怕，但我們知道這是我們之前所有努力的結晶，這給了我們發言的信心。」

如今，去年開始上大學的 Jackson 和 Johnson 又取得了另一項成就：它們已經完成了一篇詳細介紹該方法證明的學術論文，新工作於週一發表在科學期刊《美國數學月刊》上。
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  • 論文標題：Five or Ten New Proofs of the Pythagorean Theorem

  • 論文連結：https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2024.2370240#abstract

Calcea Johnson 目前在路易斯安那州立大學讀環境工程專業，Ne’Kiya Jackson 正在路易斯安那澤維爾大學攻讀藥學博士學位。

與多年來歷代數學家使用代數、幾何方式解釋勾股定理的方式不同，Johnson 和 Jackson 使用三角學來證明它 —— 一個專注於三角形研究的數學分支。

專家認為 Johnson 和 Jackson 的方法極其具有挑戰性，因為三角學作為一個領域本質上是基於勾股定理（畢達哥拉斯定理）的。那麼使用三角函式來證明該定理通常需要數學家所說的「迴圈論證」。然而根據新的研究，證明並不是迴圈的。

「我們在證明中使用的定理…… 都沒有假設畢達哥拉斯定理是正確的，」作者在論文中寫道。

英國布里斯托大學數學學院名譽教授 Tom Murdoch 稱這項研究令人印象深刻，「我認為這項研究的有趣之處在於，很多人認為這是不可能的。」

三角函式基於正弦和餘弦，它們表示為直角三角形某些長度的比率。很容易陷入迴圈論證，而這項研究的吸引力在於，他們找到了一條使用正弦和餘弦的論證路線，同時並不假設畢達哥拉斯定理是正確的。

Johnson 和 Jackson 在研究中概述了使用三角學證明該定理的五種新方法，他們的方法揭示了另外五種證明，總共十種。兩人在 2023 年的會議上只展示了其中一種證明，在新論文中，還有九種是全新的。這裡我們重點來看看她們給出的五種證明以及她們發現這些證明方式的思路，更多詳情可訪問原論文。

勾股定理的五種證明

由於前面已經證明了等腰直角三角形的勾股定理，因此在下面五個證明的前四個中，會假設 ABC 是一個非等腰直角三角形，其中 𝑎<𝑏，也就等價於 𝛼<45°<𝛽。根據 [引用 1] 的嚴格要求，下面每個證明都將從直角三角形的圖形開始。

第一種證明

在第一個證明中，他們首先是沿 △𝐴𝐵𝐶 的 AC 邊進行翻折，得到一個等腰三角形 𝐴𝐵𝐵′。

現在，如圖 8 所示，基於 𝐴𝐵𝐵′ 構建一個直角三角形 𝐴𝐵′𝐷，其中直角在 𝐵′ 處。然後在 △𝐵′𝐵𝐷 中填充逐步變小的 △𝐴𝐵𝐶 的相似三角形。
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圖 8

由於 𝐵𝐵′ 的長度為 2a，並且是 △𝐵′𝐸𝐵 的較長直角邊，因此邊的比值 a : b : c 表明較短直角邊 BE 的長度為圖片但 BE 是 △𝐵𝐹𝐸 的較長直角邊，因此 △𝐵𝐹𝐸 的斜邊 BF 的長度為圖片

根據構造，每個三角形的較短直角邊也是下一個三角形的較長直角邊，這意味著連續三角形的比率為 𝑎/𝑏；但間隔一個三角形的比率為 𝑎²/𝑏²，因此
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因此，直角三角形 𝐴𝐵′𝐷 的斜邊 AD 的長度為
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在 △𝐴𝐵′𝐷 中，有 cos (2𝛼)=𝐴𝐵′/𝐴𝐷=𝑐/𝐴𝐷，因此 𝐴𝐷=𝑐/cos (2𝑎)。

將 AD 的兩個等式合併到一起，可得：
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請注意，其中一步使用了眾所周知的收斂級數求和公式：
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第二種證明

給定直角三角形 ABC，如下圖所示，沿邊 BC 找到一個點 D，使得 ∠𝐵𝐴𝐷=𝛼。這樣一來，∠𝐴𝐷𝐶=90−2𝛼=𝛽−𝛼。
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圖 9

我們首先將正弦定理應用於 △𝐴𝐶𝐷：
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由此得出
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接下來，對 △𝐴𝐵𝐷 使用正弦定理：
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比較 BD 的兩個值，可得圖片，化簡可得 𝑎²+𝑏²=𝑐²。

第三種證明

首先，在 AC 邊上找到一個點 D，使得 ∠𝐶𝐵𝐷=𝛽−𝛼，因此 ∠𝐴𝐵𝐷=𝛽−(𝛽−𝛼)=𝛼 且 ∠𝐵𝐷𝐶=90−(𝛽−𝛼)=2𝛼。如圖 10 所示。
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圖 10

根據定義， sin (2𝛼)=𝐵𝐶/𝐵𝐷，因此
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那麼，
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於是可得：
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但由於 △𝐴𝐵𝐷 是等腰三角形，有 𝐴𝐷=𝐵𝐷，因此圖片，消去 2b 後可得 𝑎²+𝑏²=𝑐²。

第四種證明

首先，如圖 11 所示，畫出斜邊 AB 的垂直平分線 DE（使得 △𝐴𝐸𝐷∼△𝐴𝐵𝐶），然後構造矩形 AOBC 並畫出它的對角線。
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圖 11

根據反射對稱性，∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐶𝐵𝐷=𝛽，然後 ∠𝐷𝐶𝐸=90−𝛽=𝛼 且 ∠𝐵𝐷𝐶=180−(𝛽+𝛽)=2𝛼。還有∠𝐶𝐷𝐸=90−2𝛼=𝛽−𝛼。

由於 𝐴𝐷=𝐵𝐷，有𝐴𝐷=𝐵𝐷=𝑐/2，而 △𝐴𝐸𝐷 的邊之比 a：b：c 表明𝐷𝐸=𝐴𝐷(𝑎/𝑏)=𝑎𝑐/2𝑏 且 𝐴𝐸=𝐴𝐷(𝑐/𝑏)=𝑐²/2𝑏。因此
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對 △𝐶𝐷𝐸 使用正弦定理可得：
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第五種證明

與前四個證明不同，第五個證明僅適用於等腰直角三角形。

給定直角三角形 ABC，且有 𝛼≤𝛽，對於任意常數 𝑘（0<𝑘<1），可以畫出一條線 DE 並使得 △𝐴𝐵𝐶∼△𝐴𝐷𝐸 具有比例因子 k。然後再畫一條線 DF，使得 ∠𝐸𝐷𝐹=2𝛼。然後選擇一個適當的 k 值，使得 F 位於 B 和 C 之間。
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圖 12

如果 ∠𝛼<45，則 DF 和 EC 可以延伸至點 G 處相交，從而得到一個直角三角形 DEG，其中 ∠𝐺=𝛽−𝛼。由於 𝐷𝐸∥𝐵𝐶，則可得 ∠𝐵𝐹𝐷=∠𝐸𝐷𝐹=2𝛼，則 ∠𝐵𝐷𝐹=180−(2𝛼+𝛽)=𝛽。對 △𝐵𝐷𝐹 使用正弦定理，可得
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於是，
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而在 △DEG 中，有 sin (𝛽−𝛼)=𝐷𝐸/𝐷𝐺，因此
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則可得
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並且由於 sin (𝛽−𝛼)=𝐶𝐹/𝐹𝐺，可得
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當 ∠𝛼=45 時，仍然有 𝐵𝐹=(1−𝑘)𝑐²/2𝑎 （如果 M 是 BD 的中點，則 𝐵𝑀=(1−𝑘)𝑐/2 且 𝐵𝐹=𝑐/𝑎・𝐵𝑀）並且仍然有
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因此對於任何直角三角形 ABC，可知
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這兩位高中生是如何得到這五種證明的？

在任何創造性活動中，都有一個基本問題：「我能用已有的東西創造什麼？」

對於勾股定理，這個問題就變成了：「給定直角三角形 ABC，我可以建立哪些直角三角形？」

這兩位高中生對這一問題進行了解答。他們對新三角形的建立做了限制，使其角是 △𝐴𝐵𝐶 的三個角 𝛼、𝛽 和 90 (=𝛼+𝛽) 度的「整數和」和 / 或「整數差」。

引理 1

a. 如果 ABC 是等腰直角三角形（因此 𝛼=𝛽=45），那麼所有角是 𝛼 和 𝛽 的整數線性組合的三角形就只有等腰直角三角形。

b. 如果直角三角形 ABC 中的 𝛼 < 𝛽，則存在一個直角三角形，其銳角為 2𝛼 和 𝛽−𝛼。此外，2𝛼 和 𝛽−𝛼 是 𝛼 和 𝛽 的唯一整數線性組合，它們將是每對 {𝛼,𝛽} 的直角三角形的銳角。

證明

a. 由於等腰三角形 ABC 的所有三個角都是 45 的倍數，因此任何新三角形（其角度限制為 △𝐴𝐵𝐶 角度的和和 / 或差）中的所有三個角仍然是 45 的倍數，因此這個三角形必須是等腰直角三角形。也就是說，如果從等腰直角三角形開始，就無法建立一個新三角形。

b. 現在假設 𝛼 < 𝛽。如果新構造的直角三角形中銳角的大小為 𝑚𝛼 + 𝑛𝛽 (𝑚,𝑛∈ℤ)，則其補角大小為 90 – (𝑚𝛼 + 𝑛𝛽) =(𝛼+𝛽)–(𝑚𝛼 + 𝑛𝛽) = (1−𝑚)𝛼 + (1−𝑛)𝛽。如果整數 n 和 1−𝑛 都非零，因此其中一個（例如 n）必定為負數，則用 ⏧𝑛⏧ 替換 n，可知其中一個角度為 𝑚𝛼 – 𝑛𝛽，其中 m > n > 0。但是當 𝛼 為 90𝑛/(𝑚+𝑛) 度時，其補角 𝛽 為 90𝑚/(𝑚+𝑛) 度，這種構造會得到一個三角形，其角度為
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這是不可能的，說明必定有 𝑛=0，這樣對於某個 𝑚∈ℕ，其中一個銳角為 𝑚𝛼。

如果 𝑚=1，那就會得到原始三角形 ABC。如果 𝑚=2，那會得到一個新的直角三角形，其銳角為 2𝛼 和 𝛽 – 𝛼。（請注意，由於 𝛼 <45，因此 2𝛼 < 90。）最後，可以看到 𝑚 ≥ 3 是不可能的，因為不存在 30 ≤ 𝛼 < 45 的三角形。

該引理為這兩位高中生提供了證明勾股定理的思路（對於非等腰直角三角形）：從原始三角形 ABC 開始，嘗試以儘可能多的方式建立一個新的直角三角形，其角度為 2𝛼、𝛽 – 𝛼 和 90 度。

舉個例子，為了建立 2𝛼 角，一種明顯方法是將兩個 △𝐴𝐵𝐶 組合到一起，如圖 13 所示。

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圖 13

這會得到一個等腰三角形𝐴𝐵𝐵′，其角度分別為 2𝛼、𝛽 和 𝛽；下一步是取其中的 𝛽 角，並將其轉換為 𝛽 – 𝛼 或 90 度。

要在頂點 𝐵′ 處建立 90 度角，可構造一條射線，使它與 𝐵𝐵′ 形成 𝛼 角。如果將邊 AB 延伸到點 D 處與該射線相交，則會獲得前面第一個證明的影像。
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圖 14

又或者，如果在斜邊 AB 的另一側建立 2𝛼 角，並延伸 CB 以與新射線相交於點 D，如下所示，則將獲得第二個證明的圖形。
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圖 15

這種簡單的方法可得到許多新證明，其中五個如上所示，還有五個（或更多）留給感興趣的讀者去發現。

有時，對於問題過於瞭解，會讓我們陷入認為它「理所當然」的束縛。能用全新的眼光看待問題，也是一種稀缺的能力。

這些「高中水平」的內容你看懂了嗎？快快拿起紙筆也來嘗試一番證明吧！

參考內容：
https://mathstodon.xyz/@tao/113391326199704210
https://www.cnn.com/2024/10/29/science/teens-pythagorean-theorem-study/index.html
https://www.cbsnews.com/news/high-school-students-pythagorean-theorem-trigonometry-proof-60-minutes/

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