加權中位數應用：油井加權的輸油管道位置選取

shuaishuai3409發表於2016-05-19

普通的輸油管道問題: 某石油公司計劃建造一條由東向西的主輸油管道。該管道要穿過一個有n口油井的油田。從每口油井都要有一條輸油管道沿最短路經(或南或北)與主管道相連。如果給定n口油井的位置, 即它們的x座標（東西向）和y座標（南北向）, 應如何確定主管道的最優位置, 使得各油井到主管道之間的輸油管道長度總和最小的位置。

油井加權的輸油管道問題：若考慮每個油井帶有一個權重，求解目標變為加權距離和最小。假設最優位置為P，那麼應該有如下不等式成立：

∑D(i)d(i,P)≤∑D(i)d(i,R),i≠P,i≠R

\sum D(i)d(i,P)\leq\sum D(i)d(i,R), i\neq P, i\neq R

其中D(i)

D(i)
為油井權重，d(i,p)
d(i,p)
為油井到輸油管道的距離，∑D(i)d(i,P)
\sum D(i)d(i,P)
為所有油井到輸油管道的加權距離和, P
P
為最優位置，R
R
為輸油管道的其他位置。

這裡寫圖片描述

有以下等式成立：
∑D(I)d(I,P)+∑D(J)d(J,P)+∑D(R)d(R,P)≤

\sum D(I)d(I,P)+\sum D(J)d(J,P)+\sum D(R)d(R,P)\leq

∑D(I)d(I,R)+∑D(J)d(J,R)+∑D(P)d(P,R)

\sum D(I)d(I,R)+\sum D(J)d(J,R)+\sum D(P)d(P,R)
, 其中I<P<R<J
I<P<R<J
，I、J
I、J
為油井位置，P、R
P、R
為輸油管道位置。

移項：

∑D(I)d(I,P)−∑D(I)d(I,R)≤∑D(J)d(J,R)−∑D(J)d(J,P)+∑D(P)d(P,R)−∑D(R)d(R,P)

\sum D(I)d(I,P)-\sum D(I)d(I,R)\leq \sum D(J)d(J,R)-\sum D(J)d(J,P)+\sum D(P)d(P,R)-\sum D(R)d(R,P)

整理：
∑D(I){d(I,P)−d(I,R)}≤∑D(J){d(J,R)−d(J,P)}

\sum D(I)\left \{d(I,P)-d(I,R)\right\} \leq \sum D(J)\left \{d(J,R)-d(J,P)\right\}

簡化：

∑D(I)≤∑D(J)

\sum D(I) \leq \sum D(J)
。

未完，還需參考下演算法導論。到這推不動了。

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