【演算法】數學之旅，根據素數特徵尋找底數

當下午六點的鐘聲敲響，小悅如常地結束了一天的工作。她坐在工位上，腦海中不禁回想起自己學習數學的過程。那些數字、公式以及那些漫長夜晚的努力，都像是一段迷人的旋律，讓她無法忘懷。當她沉浸在回憶中時，那迷人的微笑映入了旁人的眼簾，而這一幕恰好被一位同事捕捉到。

“你在笑什麼呢？”同事好奇地問道。

“哦，沒什麼。”小悅笑著回答，“只是想起了一些有趣的數學問題。”

由於等電梯的人太多，小悅便開始回想那些神奇的數字，它們就像是被隱藏在數學世界中的寶藏，讓當時年少的她充滿了好奇與探索的慾望。她一一列舉出那些數字：89、271、325、328...每個數字都像是擁有獨特的秘密。

她深入思考這些數字的特性，嘗試找出它們的規律。她驚奇地發現，這些數字的平方值經過反轉後，居然都是素數。例如，89的平方是7921，反轉後成為1297，這是一個素數；271的平方是73441，反轉後成為14437，同樣也是一個素數...這些看似平凡無奇的數字，經過平方和反轉之後，竟然擁有了素數的特質，這讓她感到無比驚奇。

然而，這還不足以滿足小悅的好奇心。她進一步發現，這些數字的立方值經過反轉後也隱藏著素數的秘密。比如89的立方是704969，反轉後是969407，這是一個素數；271的立方是19902511，反轉後是11520991，也是一個素數...這些原本看似簡單的數字，在經過立方和反轉之後，同樣也擁有了素數的特質。

當時的小悅深深地被這些發現所吸引，她開始思考這些現象背後的原因。她發現這其實是一種數學規律，與素數、數字反轉和數學運算等概念密切關聯。這些概念在數學教學中廣泛應用於數論、算術和代數等方面的練習和學習，讓她對數學有了更深層次的理解和認識。

同時，小悅還意識到這些數學問題的應用不僅僅侷限於數學學習和教育。在程式設計練習中，這些問題也能夠引導學習者加深對迴圈、條件判斷和函式等概念的理解和應用。透過解決這些問題，學習者可以鍛鍊程式設計思維和解決問題的能力。

小悅的思緒還在繼續，她依然沉浸在這種數學世界的探索和發現中，享受著這種無盡的樂趣和挑戰。對她來說，這些神奇的數字就像是一把鑰匙，開啟了一扇通向更廣闊數學世界的大門。她期待著未來能夠繼續用這把鑰匙解開更多的數學謎題，探索更多未知的領域。

“數學真是個奇妙的世界啊。”小悅感嘆道，她的眼中閃爍著對數學知識無盡的熱愛和追求。而那個在工位上回想學習數學過程、下意識迷人的微笑的小悅，永遠是同事們心中最美的風景。

小悅面臨的問題是如何將這些特殊的數從數字的海洋中尋找出來：建立一個函式SqCubRevPrime（），它接收陣列的序號1,2,3,4,5...並輸出相應的底數值，這些底數應該能滿足平方、立方後反轉的數仍是素數的要求：

SqCubRevPrime（1）==89

SqCubRevPrime（2）==271

SqCubRevPrime（3）==325

SqCubRevPrime（4）==328

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演算法實現:

using System;
using System.Collections.Generic;

public static class Edm {
  // 判斷一個無符號長整型數是否為質數(素數)
  private static bool IsOddPrime(ulong n) {
    // 從3開始，遞增2，直到迴圈變數的平方大於等於給定的數
    for (ulong d = 3; d * d <= n; d += 2) {
      // 如果給定的數能夠被迴圈變數整除，則返回false，表示不是質數
      if (n % d == 0) return false;
    }
    // 迴圈結束後沒有找到能整除的數，則返回true，表示是質數
    return true;
  }
  
  // 將一個無符號長整型數進行反轉
  private static ulong Reverse(ulong n) {
    ulong r = 0;
    // 從個位開始依次取出並放置到結果變數中
    while (n > 0) {
      r = r * 10 + n % 10;
      // 將給定的數除以10，繼續取下一個位數
      n /= 10;
    }
    // 返回結果變數，即反轉後的數
    return r;
  }
  
  // 構建一個無符號整型數的列表
  private static List<uint> Build(uint max) {
    var res = new List<uint>();
    // 從89開始迴圈到給定的最大值max
    for (uint n = 89; n <= max; n++) {
      ulong n2 = n * n, r2 = Reverse(n2);
      // 計算當前數的平方，並將結果儲存在變數n2中
      // 將n2進行反轉，並將結果儲存在變數r2中
      if (r2 > 1 && r2 % 2 != 0) {
        ulong r3 = Reverse(n2 * n);
        // 如果r2為奇數且r3為奇數且r2和r3都是質數，則將當前數n新增到列表res中
        if (r3 % 2 != 0 && IsOddPrime(r2) && IsOddPrime(r3)) res.Add(n);
      }
    }
    // 返回列表res
    return res;
  }
  
  // 呼叫Build方法並傳入57200作為引數後的結果列表
  private static List<uint> Seq = Build(57200);
  
  // 返回列表Seq中指定索引位置的數
  public static uint SqCubRevPrime(int n) {
    return Seq[n - 1];
  }
}

1. IsOddPrime 方法用於判斷一個無符號長整型數是否為奇數質數。它使用一個迴圈，從3開始，遞增2，直到迴圈變數的平方大於等於給定的數。在迴圈中，如果給定的數能夠被迴圈變數整除，則返回false，表示不是質數。如果迴圈結束後沒有找到能整除的數，則返回true，表示是質數。

2. Reverse 方法用於將一個無符號長整型數進行反轉。它使用一個迴圈，將給定的數從個位開始依次取出並放置到結果變數中，然後將給定的數除以10，繼續取下一個位數，直到給定的數變為0。最後返回結果變數，即反轉後的數。

3. Build 方法用於構建一個無符號整型數的列表。它首先建立一個空的列表變數 res，然後從89開始迴圈到給定的最大值 max。在迴圈中，首先計算當前數的平方，並將結果儲存在變數 n2 中。然後將 n2 進行反轉，並將結果儲存在變數 r2 中。如果 r2 大於1且為奇數，進一步計算 n2 的立方並將結果儲存在變數 r3 中。如果 r3 為奇數且 r2 和 r3 都是質數，則將當前數 n 新增到列表 res 中。最後返回列表 res。

4. Seq 是一個列表變數，用於儲存呼叫 Build 方法並傳入57200作為引數後的結果列表。

5. SqCubRevPrime 是一個公共靜態方法，用於返回列表 Seq 中指定索引位置的數。它接受一個整型引數 n，並返回列表 Seq 中索引為 n - 1 的元素。

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測試用例：

namespace Solution {
  
  using NUnit.Framework;
  using System;
  
  [TestFixture]
  public class SolutionTest
  {
    static void Act(uint expected, int n) 
      => Assert.AreEqual(expected, Edm.SqCubRevPrime(n), $"n = {n}");
    
    [TestCase(89, 1)]
    [TestCase(271, 2)]
    [TestCase(325, 3)]
    [TestCase(328, 4)]
    public void FixedTests(int expected, int n) => Act((uint)expected, n);
    
    [Test]
    public void RandomTests([Random(1, 230, 50)] int n)
    {
      var solutions = new uint[] {89, 271, 325, 328, 890, 1025, 1055, 1081, 1129, 1169, 1241, 2657, 2710, 3112, 3121, 3149, 3244, 3250, 3263, 3280, 3335, 3346, 3403, 4193, 4222, 4231, 4289, 4291, 5531, 5584, 5653, 5678, 5716, 5791, 5795, 5836, 5837, 8882, 8900, 8926, 8942, 9664, 9794, 9875, 9962, 10178, 10250, 10393, 10429, 10499, 10550, 10577, 10651, 10679, 10717, 10718, 10739, 10756, 10762, 10810, 10844, 10895, 10898, 10943, 10996, 11035, 11039, 11084, 11137, 11159, 11164, 11182, 11191, 11290, 11351, 11371, 11575, 11690, 11695, 11707, 11722, 11732, 11795, 11827, 11861, 11885, 12109, 12124, 12242, 12268, 12304, 12361, 12362, 12410, 12433, 12436, 12535, 19144, 19267, 19271, 19273, 19385, 19433, 19442, 19451, 19501, 19564, 19597, 19603, 19631, 19637, 19766, 19846, 19865, 19871, 19909, 19927, 26464, 26491, 26570, 26579, 26621, 26704, 26944, 26965, 27001, 27029, 27052, 27100, 27101, 31120, 31210, 31223, 31237, 31261, 31327, 31331, 31351, 31463, 31469, 31490, 31534, 31561, 31657, 31726, 31739, 31784, 31807, 31883, 31928, 31978, 32066, 32072, 32213, 32255, 32308, 32431, 32440, 32446, 32500, 32539, 32564, 32573, 32630, 32656, 32708, 32749, 32759, 32800, 32888, 32969, 33059, 33254, 33325, 33338, 33350, 33404, 33460, 33475, 33509, 33568, 33575, 33701, 33833, 34030, 34112, 34159, 34163, 41351, 41429, 41473, 41501, 41608, 41639, 41839, 41879, 41930, 41933, 41992, 42029, 42089, 42103, 42121, 42179, 42220, 42235, 42310, 42326, 42385, 42463, 42466, 42524, 42575, 42607, 42682, 42782, 42839, 42890, 42910, 42982, 43045, 43049, 54986, 54991, 55073, 55310, 55492, 55589, 55598, 55603, 55651, 55697, 55718, 55778, 55840, 55859, 55879, 55916, 56005, 56093, 56261, 56279, 56356, 56530, 56681, 56780, 56809, 56968, 57160, 57185};
      var expected = solutions[n - 1];
      Act(expected, n);
    }
  }
}