LeetCode 周賽上分之旅 #47 前字尾分解結合單調棧的貢獻問題

發表於2023-09-27
LeetCode

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學習資料結構與演算法的關鍵在於掌握問題背後的演算法思維框架，你的思考越抽象，它能覆蓋的問題域就越廣，理解難度也更復雜。在這個專欄裡，小彭與你分享每場 LeetCode 周賽的解題報告，一起體會上分之旅。

本文是 LeetCode 上分之旅系列的第 47 篇文章，往期回顧請移步到文章末尾\~

LeetCode 周賽 364

T1. 最大二進位制奇數（Easy）

  • 標籤：貪心

T2. 美麗塔 I（Medium）

  • 標籤：列舉、前字尾分解、單調棧

T3. 美麗塔 II（Medium）

  • 標籤：列舉、前字尾分解、單調棧

T4. 統計樹中的合法路徑數目（Hard）

  • 標籤：DFS、質數

T1. 最大二進位制奇數（Easy）

https://leetcode.cn/problems/maximum-odd-binary-number/description/

題解（模擬）

簡單模擬題，先計算 $1$ 的個數，將其中一個 $1$ 置於最低位，其它 $1$ 置於最高位：

class Solution {
    fun maximumOddBinaryNumber(s: String): String {
        val cnt = s.count { it == '1' }
        return StringBuilder().apply {
            repeat(cnt - 1) {
                append("1")
            }
            repeat(s.length - cnt) {
                append("0")
            }
            append("1")
        }.toString()
    }
}
class Solution:
    def maximumOddBinaryNumber(self, s: str) -> str:
        n, cnt = len(s), s.count("1")
        return "1" * (cnt - 1) + "0" * (n - cnt) + "1"
class Solution {
public:
    string maximumOddBinaryNumber(string s) {
       int n = s.length();
       int cnt = 0;
       for (auto& e : s)  {
           if (e == '1') cnt++;
       }
       string ret;
       for (int i = 0; i < cnt - 1; i++) {
           ret.push_back('1');
       }
       for (int i = 0; i < n - cnt; i++) {
           ret.push_back('0');
       }
       ret.push_back('1');
       return ret;
    }
};

複雜度分析：

  • 時間複雜度：$O(n)$ 線性遍歷；
  • 空間複雜度：$O(1)$ 不考慮結果字串。

T2. 美麗塔 I（Medium）

https://leetcode.cn/problems/beautiful-towers-i/description/

同 T3. 美麗塔 I

T3. 美麗塔 II（Medium）

https://leetcode.cn/problems/beautiful-towers-ii/description/

問題分析

初步分析：

  • 問題目標： 構造滿足條件的方案，使得陣列呈現山狀陣列，返回元素和；
  • 方案條件： 從陣列的最大值向左側為遞減，向右側也為遞減。

思考實現：

  • 在 T2. 美麗塔 I（Medium） 中的資料量只有 $1000$，我們可以列舉以每個點作為山峰（陣列最大值）的方案，從山頂依次向兩側遞減，使得當前位置不高於前一個位置，整體的時間複雜度是 $O(n^2)$；
  • 在 T3. 美麗塔 II（Medium） 中資料量有 $10^5$，我們需要思考低於平方時間複雜度的方法。

思考最佳化：

以示例 [6,5,3,9,2,7] 為例，我們觀察以 $3$ 和 $9$ 作為山頂的兩個方案：

以 3 作為山頂：
3 3 |3 3| 2 2

以 9 作為山頂
3 3 |3 9| 2 2

可以發現：以 $3$ 作為山頂的左側與以 $9$ 為山頂的右側在兩個方案之間是可以複用的，至此發現解決方法：我們可以分別預處理出以每個節點作為山頂的字首和字尾的和：

  • $pre[i]$ 表示以 $maxHeights[i]$ 作為山頂時左側段的字首和；
  • $suf[i]$ 表示以 $maxHeights[i]$ 作為山頂時右側段的字尾和。

那麼，最佳方案就是 $pre[i] + suf[i] - maxHeight[i]$ 的最大值。 現在，最後的問題是如何以均攤 $O(1)$ 的時間複雜度計算出每個元素前字尾的和？

思考遞推關係：

繼續以示例 [6,5,3,9,2,7] 為例：

  • 以 $6$ 為山頂，字首為 $[6]$
  • 以 $5$ 為山頂，需要保證左側元素不大於 $5$，因此找到 $6$ 並修改為 $5$，字首為 $[5, 5]$
  • 以 $3$ 為山頂，需要保證左側元素不大於 $3$，因此找到兩個 $5$ 並修改為 $3$，字首為 $[3, 3, 3]$
  • 以 $9$ 為山頂，需要保證左側元素不大於 $9$，不需要修改，字首為 $[3, 3, 3, 9]$
  • 以 $2$ 為山頂，需要保證左側元素不大於 $2$，修改後為 $[2, 2, 2, 2, 2]$
  • 以 $7$ 為山頂，需要保證左側元素不大於 $7$，不需要修改，字首為 $[2, 2, 2, 2, 2, 7]$

提高抽象程度：

觀察以上步驟，問題的關鍵在於修改操作：由於陣列是遞增的，因此修改的步驟就是在「尋找小於等於當前元素 $x$ 的上一個元素」，再將中間的元素削減為 $x$。「尋找上一個更小元素」，這是單調棧的典型場景。

題解一（列舉）

列舉以每個元素作為山頂的方案：

class Solution {
    fun maximumSumOfHeights(maxHeights: List<Int>): Long {
        val n = maxHeights.size
        var ret = 0L
        for (i in maxHeights.indices) {
            var curSum = maxHeights[i].toLong()
            var pre = maxHeights[i]
            for (j in i - 1 downTo 0) {
                pre = min(pre, maxHeights[j])
                curSum += pre
            }
            pre = maxHeights[i]
            for (j in i + 1 ..< n) {
                pre = min(pre, maxHeights[j])
                curSum += pre
            }
            ret = max(ret, curSum)
        }
        return ret
    }
}
class Solution:
    def maximumSumOfHeights(self, maxHeights: List[int]) -> int:
        n, ret = len(maxHeights), 0
        for i in range(n):
            curSum = maxHeights[i]
            pre = maxHeights[i]
            for j in range(i + 1, n):
                pre = min(pre, maxHeights[j])
                curSum += pre
            pre = maxHeights[i]
            for j in range(i - 1, -1, -1):
                pre = min(pre, maxHeights[j])
                curSum += pre
            ret = max(ret, curSum)
        return ret
class Solution {
public:
    long long maximumSumOfHeights(vector<int>& maxHeights) {
        int n = maxHeights.size();
        long long ret = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            long long curSum = maxHeights[i];
            int pre = maxHeights[i];
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                pre = min(pre, maxHeights[j]);
                curSum += pre;
            }
            pre = maxHeights[i];
            for (int j = i - 1; j >= 0; j--) {
                pre = min(pre, maxHeights[j]);
                curSum += pre;
            }
            ret = max(ret, curSum);
        }
        return ret;
    }
};

複雜度分析：

  • 時間複雜度：$O(n^2)$ 每個方案的時間複雜度是 $O(n)$，一共有 $n$ 種方案；
  • 空間複雜度：$O(1)$ 僅使用常量級別空間。

題解二（前字尾分解 + 單調棧）

使用單點棧維護前字尾陣列，為了便於邊界計算，我們構造長為 $n + 1$ 的陣列。以示例 [6,5,3,9,2,7] 為例：

0, 5, 6, 10, 4, 5
13, 8, 6, 2, 1, 0
class Solution {
    fun maximumSumOfHeights(maxHeights: List<Int>): Long {
        val n = maxHeights.size
        val suf = LongArray(n + 1)
        val pre = LongArray(n + 1)
        // 單調棧求字首
        val stack = java.util.ArrayDeque<Int>()
        for (i in 0 until n) {
            // 彈出棧頂
            while (!stack.isEmpty() && maxHeights[stack.peek()] > maxHeights[i]) {
                stack.pop()
            }
            val j = if (stack.isEmpty()) -1 else stack.peek() 
            pre[i + 1] = pre[j + 1] + 1L * (i - j) * maxHeights[i]
            stack.push(i)
        }
        // 單調棧求字尾
        stack.clear()
        for (i in n - 1 downTo 0) {
            // 彈出棧頂
            while (!stack.isEmpty() && maxHeights[stack.peek()] > maxHeights[i]) {
                stack.pop()
            }
            val j = if (stack.isEmpty()) n else stack.peek()
            suf[i] = suf[j] + 1L * (j - i) * maxHeights[i]
            stack.push(i)
        }
        // 合併
        var ret = 0L
        for (i in 0 until n) {
            ret = max(ret, pre[i + 1] + suf[i] - maxHeights[i])
        }
        return ret
    }
}
class Solution:
    def maximumSumOfHeights(self, maxHeights: List[int]) -> int:
        n = len(maxHeights)
        suf = [0] * (n + 1)
        pre = [0] * (n + 1)
        stack = []
        # 單調棧求字首
        for i in range(n):
            # 彈出棧頂
            while stack and maxHeights[stack[-1]] > maxHeights[i]:
                stack.pop()
            j = stack[-1] if stack else -1
            pre[i + 1] = pre[j + 1] + (i - j) * maxHeights[i]
            stack.append(i)
        # 單調棧求字尾
        stack = []
        for i in range(n - 1, -1, -1):
            # 彈出棧頂
            while stack and maxHeights[stack[-1]] > maxHeights[i]:
                stack.pop()
            j = stack[-1] if stack else n
            suf[i] = suf[j] + (j - i) * maxHeights[i]
            stack.append(i)
        # 合併
        ret = 0
        for i in range(n):
            ret = max(ret, pre[i + 1] + suf[i] - maxHeights[i])
        
        return ret
class Solution {
public:
    long long maximumSumOfHeights(vector<int>& maxHeights) {
        int n = maxHeights.size();
        vector<long long> suf(n + 1, 0);
        vector<long long> pre(n + 1, 0);
        stack<int> st;
        // 單調棧求字首
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // 彈出棧頂
            while (!st.empty() && maxHeights[st.top()] > maxHeights[i]) {
                st.pop();
            }
            int j = st.empty() ? -1 : st.top();
            pre[i + 1] = pre[j + 1] + 1LL * (i - j) * maxHeights[i];
            st.push(i);
        }
        // 單調棧求字尾
        while (!st.empty()) st.pop();
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            // 彈出棧頂
            while (!st.empty() && maxHeights[st.top()] > maxHeights[i]) {
                st.pop();
            }
            int j = st.empty() ? n : st.top();
            suf[i] = suf[j] + 1LL * (j - i) * maxHeights[i];
            st.push(i);
        }
        // 合併
        long long ret = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            ret = max(ret, pre[i + 1] + suf[i] - maxHeights[i]);
        }
        return ret;
    }
};

複雜度分析：

  • 時間複雜度：$O(n)$ 在一側的計算中，每個元素最多如何和出棧 $1$ 次；
  • 空間複雜度：$O(n)$ 前字尾陣列空間。

T4. 統計樹中的合法路徑數目（Hard）

https://leetcode.cn/problems/count-valid-paths-in-a-tree/description/

這道題似乎比 T3 還簡單一些。

問題分析

初步分析：

  • 問題目標： 尋找滿足條件的方案數；
  • 問題條件： 路徑 $[a, b]$ 上質數的數目有且僅有 $1$；
  • 問題要素： 路徑和 - 表示路徑上質數的數目。

思考實現：

  • 子問題： 對於以根節點 x 的原問題，可以分為 3 種情況：

    • 左子樹可以構造的方案數
    • 右子樹可以構造的方案數
    • 如果根節點為質數：「從根到子樹節點的路徑和為 $0$ 的數目」與「從根到其它子樹節點的路徑和為 $0$ 的數目」的乘積（乘法原理）

題解（DFS）

構造 DFS 函式，子樹的 DFS 返回值為兩個值：

  • $cnt0$：到子樹節點和為 $0$ 的路徑數；
  • $cnt1$：到子樹節點和為 $1$ 的路徑數；

返回結果時：

  • 如果根節點為質數，那麼只能與 $cnt0$ 個路徑和為 $1$ 的路徑；
  • 如果根節點為非質數，那麼 $cnt0$ 個路徑可以組成和為 $0$ 的路徑，同理 $cnt1$ 個路徑可以組成和為 $1$ 的路徑。

在子樹的計算過程中還會構造結果：

由於題目說明 $[a, b]$ 與 $[b, a]$ 是相同路徑，我們可以記錄當前子樹左側已經計算過的 $cnt0$ 和 $cnt1$ 的累加和，再與當前子樹的 $cnt0$ 與 $cnt1$ 做乘法：

$ret += cnt0 * cnt[1] + cnt1 * cnt[0]$

class Solution {
    
    companion object {
        val U = 100000
        val primes = LinkedList<Int>()
        val isPrime = BooleanArray(U + 1) { true }
        init {
            isPrime[1] = false
            for (i in 2 .. U) {
                if (isPrime[i]) primes.add(i)
                for (e in primes) {
                    if (i * e > U) break
                    isPrime[i * e] = false
                    if (i % e == 0) break
                }
            }
        }
    }
    
    fun countPaths(n: Int, edges: Array<IntArray>): Long {
        val graph = Array(n + 1) { LinkedList<Int>() }
        for ((from, to) in edges) {
            graph[from].add(to)
            graph[to].add(from)
        }
        
        var ret = 0L
        
        // return 0 和 1 的數量
        fun dfs(i: Int, pre: Int): IntArray {
            // 終止條件
            var cnt = IntArray(2)
            if (isPrime[i]) {
                cnt[1] = 1
            } else {
                cnt[0] = 1
            }
            // 遞迴
            for (to in graph[i]) {
                if (to == pre) continue // 返祖邊
                val (cnt0, cnt1) = dfs(to, i)
                // 記錄方案
                ret += cnt0 * cnt[1] + cnt1 * cnt[0]
                // 記錄影響
                if (isPrime[i]) {
                    cnt[1] += cnt0
                } else {
                    cnt[0] += cnt0
                    cnt[1] += cnt1
                }
            }
            return cnt
        }
        dfs(1, -1) // 隨機選擇根節點
        return ret
    }
}
U = 100000
primes = deque()
isPrime = [True] * (U + 1)

isPrime[1] = False
for i in range(2, U + 1):
    if isPrime[i]: primes.append(i)
    for e in primes:
        if i * e > U: break
        isPrime[i * e] = False
        if i % e == 0: break

class Solution:

    def countPaths(self, n, edges):
        graph = defaultdict(list)
        for u, v in edges:
            graph[u].append(v)
            graph[v].append(u)

        ret = 0

        def dfs(i, pre):
            nonlocal ret # 修改外部變數
            cnt = [0, 0]
            # 終止條件
            if isPrime[i]:
                cnt[1] = 1
            else:
                cnt[0] = 1
            for to in graph[i]:
                if to == pre: continue # 返祖邊
                cnt0, cnt1 = dfs(to, i)
                # 記錄方案
                ret += cnt0 * cnt[1] + cnt1 * cnt[0]
                # 記錄影響
                if isPrime[i]:
                    cnt[1] += cnt0
                else:
                    cnt[0] += cnt0
                    cnt[1] += cnt1
            return cnt

        dfs(1, -1) # 隨機選擇根節點
        return ret
const int U = 100000;
list<int> primes;
bool isPrime[U + 1];
bool inited = false;

void init() {
    if (inited) return;
    inited = true;
    memset(isPrime, true, sizeof(isPrime));
    isPrime[1] = false;
    for (int i = 2; i <= U; ++i) {
        if (isPrime[i]) primes.push_back(i);
        for (auto e : primes) {
            if (i * e > U) break;
            isPrime[i * e] = false;
            if (i % e == 0) break;
        }
    }
}

class Solution {
public:
    long long countPaths(int n, vector<vector<int>>& edges) {
        init();
        vector<list<int>> graph(n + 1);
        for (const auto& edge : edges) {
            int from = edge[0];
            int to = edge[1];
            graph[from].push_back(to);
            graph[to].push_back(from);
        }

        long long ret = 0;

        // return 0 和 1 的數量
        function<vector<int>(int, int)> dfs = [&](int i, int pre) -> vector<int> {
            // 終止條件
            vector<int> cnt(2, 0);
            if (isPrime[i]) {
                cnt[1] = 1;
            } else {
                cnt[0] = 1;
            }
            // 遞迴
            for (auto to : graph[i]) {
                if (to == pre) continue; // 返祖邊
                vector<int> subCnt = dfs(to, i);
                int cnt0 = subCnt[0];
                int cnt1 = subCnt[1];
                // 記錄方案
                ret += cnt0 * cnt[1] + cnt1 * cnt[0];
                // 記錄影響
                if (isPrime[i]) {
                    cnt[1] += cnt0;
                } else {
                    cnt[0] += cnt0;
                    cnt[1] += cnt1;
                }
            }
            return cnt;
        };
        dfs(1, -1); // 隨機選擇根節點
        return ret;
    }
};

複雜度分析：

  • 時間複雜度：預處理時間為 $O(U)$，建圖時間 和 DFS 時間為 $O(n)$；
  • 空間複雜度：預處理空間為 $O(U)$，模擬空間為 $O(n)$。

列舉質數

OI - 素數篩法

列舉法：列舉 $[2, n]$ ，判斷它是不是質數，整體時間複雜度是 $O(n\sqrt{n})$
// 暴力求質數
fun getPrimes(max: Int): IntArray {
    val primes = LinkedList<Int>()
    for (num in 2..max) {
        if (isPrime(num)) primes.add(num)
    }
    return primes.toIntArray()
}

// 質數判斷
fun isPrime(num: Int): Boolean {
    var x = 2
    while (x * x <= num) {
        if (num % x == 0) return false
        x++
    }
    return true
}

Eratosthenes 埃氏篩：如果 $x$ 是質數，那麼 $x$ 的整數倍 $2x$、$3x$ 一定不是質數。我們設 isPrime[i] 表示 $i$ 是否為質數。從小開始遍歷，如果 $i$ 是質數，則同時將所有倍數標記為合數，整體時間複雜度是 $O(nlgn)$

為什麼要從 $x^2$, $2x^2$ 開始標記，而不是 $2x$, $3x$ 開始標記，因為 $2x$, $3x$ 已經被小於 $x$ 的質數標記過。

// 埃氏篩求質數
val primes = LinkedList<Int>()
val isPrime = BooleanArray(U + 1) { true }
for (i in 2..U) {
    // 檢查是否為質數，這裡不需要呼叫 isPrime() 函式判斷是否質數，因為它沒被小於它的數標記過，那麼一定不是合數
    if (!isPrime[i]) continue
    primes.add(i)
    // 標記
    var x = i * i
    while (x <= U) {
        isPrime[x] = false
        x += i
    }
}
Euler 歐氏線性篩：儘管我們從 $x^2$ 開始標記來減少重複標記，但埃氏篩還是會重複標記合數。為了避免重複標記，標記 $x$ 與 “小於等於 $x$ 的最小質因子的質數” 的乘積為合數，保證每個合數只被標記最小的質因子標記，整體時間複雜度是 $O(n)$
// 線性篩求質數
val primes = LinkedList<Int>()
val isPrime = BooleanArray(U + 1) { true }
for (i in 2..U) {
    // 檢查是否為質數，這裡不需要呼叫 isPrime() 函式判斷是否質數，因為它沒被小於它的數標記過，那麼一定不是合數
    if (isPrime[i]) {
        primes.add(i)
    }
    // 標記
    for (e in primes) {
        if (i * e > U) break
        isPrime[i * e] = false
        if (i % e == 0) break
    }
}

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