母函式詳解和史上最通用最高效的母函式模板

小飛_Xiaofei發表於2013-11-30

函式

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http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17042651

母函式，又稱生成函式，是ACM競賽中經常使用的一種解題演算法，常用來解決組合方面的題目。

本文講解母函式，但不講解該演算法的基礎理論。讀者隨便找一本組合數學教材便可找到相應的內容，或者直接在網上搜尋一下。

母函式通常解決類似如下的問題：

給5張1元，4張2元，3張5元，要得到15元，有多少種組合？

某些時候會規定至少使用3張1元、1張2元、0張5元。

某些時候會規定有無數張1元、2元、5元。

……

解題過程

解題時，首先要寫出表示式，通常是多項的乘積，每項由多個x^y組成。如(1+x+x^2)(1+x^4+x^8)(x^5+x^10+x^15)。

通用表示式為

(x^(v[0]*n1[0])+x^(v[0]*(n1[0]+1))+x^(v[0]*(n1[0]+2))+...+x^(v[0]*n2[0]))
(x^(v[1]*n1[1])+x^(v[1]*(n1[1]+1))+x^(v[1]*(n1[1]+2))+...+x^(v[1]*n2[1]))
...
(x^(v[K]*n1[K])+x^(v[K]*(n1[K]+1))+x^(v[K]*(n1[K]+2))+...+x^(v[K]*n2[K]))

K對應具體問題中物品的種類數。

v[i]表示該乘積表示式第i個因子的權重，對應於具體問題的每個物品的價值或者權重。

n1[i]表示該乘積表示式第i個因子的起始係數，對應於具體問題中的每個物品的最少個數，即最少要取多少個。

n2[i]表示該乘積表示式第i個因子的終止係數，對應於具體問題中的每個物品的最多個數，即最多要取多少個。

對於表示式(1+x+x^2)(x^8+x^10)(x^5+x^10+x^15+x^20)，v[3]={1,2,5}，n1[3]={0,4,1}，n2[3]={2,5,4}。

解題的關鍵是要確定v、n1、n2陣列的值。

通常n1都為0，但有時候不是這樣。

n2有時候是無限大。

之後就實現表示式相乘，從第一個因子開始乘，直到最後一個為止。此處通常使用一個迴圈，迴圈變數為i。每次迭代的計算結果放在陣列a中。計算結束後，a[i]表示權重i的組合數，對應具體問題的組合數。

迴圈內部是把每個因子的每個項和a中的每個項相乘，加到一個臨時的陣列b的對應位（這裡有兩層迴圈，加上最外層迴圈，總共有三層迴圈），之後就把b賦給a。

這些過程通常直接套用模板即可。

通用模板

下面我直接給出通用模板：

//為計算結果，b為中間結果。
int a[MAX],b[MAX];
//初始化a
memset(a,0,sizeof(a));
a[0]=1;
for (int i=1;i<=17;i++)//迴圈每個因子
{
	memset(b,0,sizeof(b));
	for (int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=P;j++)//迴圈每個因子的每一項
		for (int k=0;k+j*v[i]<=P;k++)//迴圈a的每個項
			b[k+j*v[i]]+=a[k];//把結果加到對應位
	memcpy(a,b,sizeof(b));//b賦值給a
}

P是可能的最大指數。拿鈔票組合這題來說，如果要求15元有多少組合，那麼P就是15；如果問最小的不能拼出的數值，那麼P就是所有錢加起來的和。P有時可以直接省略。具體請看本文後面給出的例題。

如果n2是無窮，那麼第二層迴圈條件j<=n2[i]可以去掉。

如何提高效率？

用一個last變數記錄目前最大的指數，這樣只需要在0..last上進行計算。

這裡給出第二個模板：

//初始化a，因為有last，所以這裡無需初始化其他位
a[0]=1;
int last=0;
for (int i=0;i<K;i++)
{
	int last2=min(last+n[i]*v[i],P);//計算下一次的last
	memset(b,0,sizeof(int)*(last2+1));//只清空b[0..last2]
	for (int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=last2;j++)//這裡是last2
		for (int k=0;k<=last&&k+j*v[i]<=last2;k++)//這裡一個是last，一個是last2
			b[k+j*v[i]]+=a[k];
	memcpy(a,b,sizeof(int)*(last2+1));//b賦值給a，只賦值0..last2
	last=last2;//更新last
}

例題

下面看幾個例題。

一、hdu 1085和hdu 1171兩題套用了第二個模板，省略了程式碼中二三層迴圈裡關於last2的條件（其實也可以加上）。

詳見：

hdu 1085：http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17041467

hdu 1171：http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17041709

二、hdu 1398套用了第一個模板，因為n2中每一項為無窮大，所以n2陣列就省略了。

詳見：

hdu 1398：http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17041815

三、hdu 2079、hdu 2082和hdu 2110三題直接套用了第二個模板。

詳見：

hdu 2079：http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17042045