隨著雲端計算和人工智慧的興起，如何安全有效地利用資料，對持有大量數字資產的企業來說至關重要。同態加密，是解決雲端計算和分散式機器學習中資料安全問題的關鍵技術，也是隱私計算中，橫跨多方安全計算，聯邦學習和可信執行環境多個技術分支的熱門研究方向。

本文對經典同態加密演算法Pailier演算法及其相關技術進行介紹，重點分析了Paillier的實現原理和效能最佳化方案，同時對基於公鑰的加密演算法中的熱門演算法進行了橫向對比。最後介紹了Paillier演算法的一些實際應用。

【關鍵詞】：同態加密，多方安全計算，聯邦學習，隱私計算

1 背景知識

1.1 同態加密

同態加密（Homomorphic Encryption，HE）[1] 是將資料加密後，對加密資料進行運算處理，之後對資料進行解密，解密結果等同於資料未進行加密，並進行同樣的運算處理。同態加密的概念最初在1978年，由Ron Rivest，Leonard Adleman和Michael L. Dertouzos共同提出，旨在解決在不接觸資料的前提下，對資料進行加工處理的問題。

目前，同態加密支援的運算主要為加法運算和乘法運算。按照其支援的運算程度，同態機密分為半同態加密（Partially Homomorphic Encryption, PHE）和全同態加密（Fully Homomorphic Encryption, FHE）。半同態加密在資料加密後只持加法運算或乘法運算中的一種，根據其支援的運算的不同，又稱為加法同態加密或乘法同態加密。半同態加密由於機制相對簡單，相對於全同態加密技術，擁有著更好的效能。全同態加密對加密後的資料支援任意次數的加法和乘法運算。

1.2 複合剩餘類問題

如果存在一個數y ∈ Z n 2 ∗ y∈\mathbb{Z}_{n^2}^\asty∈Z

n

2

∗

, 那麼符合公式z ≡ y n ( m o d n 2 ) z ≡ y^n\ (mod\ n^2)z≡y

n

(mod n

2

)的數z，稱為y的模n 2 n^2n

2

的n階剩餘。複合剩餘類問題（decisional composite residuosity assumption , DCRA)，指的是給定一個合數n和整數z，很難確定模n 2 n^2n

2

的n階剩餘數z是否存在。

1.3 中國剩餘定理

中國剩餘定理（Chinese Remainder Theorem, CRT），又稱為孫子定理，源於《孫子算經》，是數論中的一個關於一元線性同餘方程組的定理，說明了一元線性同餘方程組有解的準則以及求解方法。

有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？

翻譯為數學語言為：

{ x ≡ 2 ( m o d 3 ) x ≡ 3 ( m o d 5 ) x ≡ 2 ( m o d 7 ) \left\{

x≡2(mod3)x≡3(mod5)x≡2(mod7)

\right.

⎩

⎨

⎧

x≡2(mod3)

x≡3(mod5)

x≡2(mod7)

其通用方程為：

{ x ≡ a 0 ( m o d n 0 ) x ≡ a 1 ( m o d n 1 ) . . . x ≡ a k ( m o d n k ) \left\{

x≡a0(modn0)x≡a1(modn1)...x≡ak(modnk)

\right.

⎩

⎨

⎧

x≡a

0

(modn

0

)

x≡a

1

(modn

1

)

...

x≡a

k

(modn

k

)

中國剩餘定理的解法流程為：

計算所有模數的乘積 n = ∏ i = 0 k n i n = \prod_{i\ =\ 0}^{k}n_in=∏

i = 0

k

n

i

計算m i = n / n i , c i = m i ∗ m i − 1 m_i = n / n_i, c_i = m_i * m_i^{-1}m

i

=n/n

i

,c

i

=m

i

∗m

i

−1

方程組的解為：x = ∑ i = 0 k a i c i ( m o d n ) x = \sum_{i\ =\ 0}^{k}{a_ic_i\ (mod\ n)}x=∑

i = 0

k

a

i

c

i

(mod n)

2 Paillier演算法原理

2.1 Paillier簡介

在Paillier演算法出現之前，基於公鑰加密的演算法主要有兩個分支：

以RSA為代表的，基於大數因數分解難題的公鑰加密演算法

以ElGama為代表的，基於大數離散對數難題的公鑰加密演算法

Paillier加密演算法，由Pascal Paillier於1999年發表，給出了公鑰加密演算法的一個新的分支領域。Paillier基於複合剩餘類難題，滿足加法同態和數乘同態，具有非常高效的執行時效能。

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