【ACM數論】和式變換技術，也許是最好的講解之一

Eriktse0發表於2023-04-02
ACM

在做數論題時，往往需要進行和式變換，然後變換成我們可以處理的和式，再針對和式做篩法、整除分塊等操作。

本文將介紹一些常見的和式變換技術。

以下出現的概念大部分為個人總結，未必是學術界/競賽界的統一說法，有不嚴謹的地方請諒解。

? 作者：Eriktse
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和式的基本形式

和式一般有兩種：區間列舉型和整除列舉型。

區間列舉型

我們的字首和就是一個典型的區間列舉型和式。

假設我們有一個定義域為\(x\in[1, n],x\in Z^+\)的函式\(f(x)\)，那麼我們可以設一個字首和函式\(F(x)\)，定義為：

\[F(x) = \sum_{i=1}^{x}f(i) = f(1) + f(2) + ... + fx() \]

求和符號中，如果沒有特殊說明，一般列舉的都是整數，且步長為1。

整除列舉型

約數個數是一個典型的整除列舉型和式，我們可以容易的寫出它的表示式：

\[f(n) = \sum_{d|n}1 \]

其中 \(d|n\) 表示 \(i\) 可以整除 \(n\) ，即 \(i\) 是 \(n\) 的因子。

約數之和也是一個整除列舉型和式，表示式如下：

\[g(n) = \sum_{d|n}d \]

和式的基本性質

可拆分性質

第一種拆分如下：

\[\sum_{i=1}^{n}a_i = \sum_{i=1}^{m}a_i + \sum_{i=m+1}^{n}a_i \]

這是顯然的，但是基本上用不著。

第二種拆分如下：

\[\sum_{i=1}^{n}(a_i + b_i) = \sum_{i=1}^{n}a_i + \sum_{i=1}^{n}b_i \]

這也是顯然的。

常數可提取

當我們的和式裡面乘上了一個常數\(k\)，那麼這個常數是可以提出來的，由於我們討論的數域是整數域，這個\(k\)一般為整數。（其實對於實數也是滿足條件的）。

\[\sum_{i=1}^{n}ka_i = k\sum_{i=1}^{n}a_i \]

整除列舉型變換為區間列舉型（重要）

就比如上面那個約數之和的函式：

\[g(i) = \sum_{d|n}d = \sum_{i=1}^{n}[d|n] \]

我們知道\(d\)的取值一定在\([1, n]\)，所以我們可以轉換列舉型別，此時列舉指標的範圍就要改變，同時加上一個布林函式來限定。

我們稱列舉的東西為“指標”，例如上面和式中d|n中的d，i=1中的i。

指標變換（重要）

給定一個整數\(k\)，對於下面這種和式，我們可以把指標進行轉換。

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i, j) = k] \]

現在令\(i = i'k,j=j'k\)，為什麼會這麼想呢？因為我們後面的布林函式中要求\(i, j\)都包含因子\(k\)，如果列舉的\(i, j\)不是\(k\)的倍數的時候這個式子是沒有貢獻的。

所以我們可以不一個個列舉\(i, j\)，變為列舉\(k\)的倍數。我們進行整體的代換：

\[\sum_{i'k = 1}^{n}\sum_{j'k=1}^{n}[gcd(i'k, j'k) = k] \]

然後變換列舉範圍和布林函式，注意這裡\(i\)的起點本應該是\(\lfloor\frac{1}{k}\rfloor\)，但是\(0\)是沒有討論意義的所以我們從\(1\)開始。

\[\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}[gcd(i, j) = 1] \]

現在我們可以發現後面這個布林函式就變成了一個常見的積性函式\(\epsilon\)，接下來就可以透過公式\(\mu * I = \epsilon\)進行莫比烏斯反演（其中符號\(*\)表示狄利克雷卷積）。

交換求和次序（重要）

上式進行莫比烏斯反演後可以得到如下的和式（如果不懂莫比烏斯反演可以暫時先不管，之後再學），設\(m=\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\)。

\[\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}\sum_{d|gcd(i, j)}\mu(d) \]

我們可以發現\(d|gcd(i, j)\)這個條件等價於\([d|i][d|j]\)，即\(d\)同時是\(i\)和\(j\)的因子。

接下來我們進行一次列舉型別的轉換：

\[\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}\sum_{d=1}^{m}[d|i][d|j]\mu(d) \]

接下來我們將\(d\)的求和符號從後面換到前面去，因為在\(\mu(d)\)中沒有包含\(i, j\)的內容，可以直接換，這裡需要自己理解一下。

\[\\sum_{d=1}^{m}\mu(d)\sum_{i=1}^{m}[d|i]\sum_{j=1}^{m}[d|j] \]

轉換為整除分塊形式（十分重要）

上式轉換完成後，我們可以發現後面兩坨是可以進行整除分塊的。

\[\sum_{i=1}^{m}[d|i] = \lfloor\frac{m}{d}\rfloor \]

怎麼理解呢？這個式子表達的就是當\(d\)確定了，在區間[1, n]中有多少整數是\(d\)的倍數，顯然是\(\lfloor\frac{m}{d}\rfloor\)個。

那麼和式就可轉換為：

\[\sum_{i=1}^{m}\lfloor\frac{m}{d}\rfloor\lfloor\frac{m}{d}\rfloor \]

例題

luogu P2257 YY的GCD：https://www.luogu.com.cn/problem/P2257

閱讀題意我們可以知道題目所求為，不妨設\(n\le m\)：

\[ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)\in prim] \]

接下來開始變換：

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{p\in prim}[gcd(i,j)=p] \]

\[\sum_{p\in prim}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}[gcd(i,j)=1] \]

莫比烏斯反演：

\[\sum_{p\in prim}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d) \]

注意這裡\(n\le m\)，接著變換。

\[\sum_{p\in prim}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}[d|i][d|j]\mu(d) \]

\[\sum_{p\in prim}\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}\mu(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}[d|i]\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}[d|j] \]

後面兩坨可以進行整除分塊，同時換一下\(p\)的列舉型別：

\[\sum_{p=1}^{n}[p\in prim]\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}\mu(d)\lfloor\frac{n}{pd}\rfloor\lfloor\frac{m}{pd}\rfloor \]

令\(T=pd\)，交換求和次序。

\[\sum_{p=1}^{n}[p\in prim][p|T]\sum_{T=1}^{n}\mu(\frac{T}{p})\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor \]

再交換求和次序：

\[\sum_{T=1}^{n}\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor\sum_{p=1}^{n}[p\in prim][p|T]\mu(\frac{T}{p}) \]

現在發現\(p\)後面那一塊，可以透過類似尤拉篩的方法進行預處理。

我們設一個函式：

\[F(T) = \sum_{p=1}^{n}[p \in prim][p|T]\mu(\frac{T}{p}) \]

那麼\(F(T)\)的含義就是對於\(T\)的每一個質因子\(p\)，將它的\(\mu(\frac{T}{p})\)加到自身上。

做完了。

Code：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e7 + 9;

int sum[N], mu[N];

void init(int n = N - 2)
{
	bitset<N> vis;
	vector<int> prim;
	vis[1] = true;
	mu[1] = 1;
	
	for(int i = 2;i <= n; ++ i)
	{
		if(!vis[i])prim.push_back(i), mu[i] = -1;
		
		for(int j = 0;j < prim.size() and i * prim[j] <= n; ++ j)
		{
			vis[i * prim[j]] = true;
			if(i % prim[j] == 0)break;//此時i * prim[j]含有平方因子
			
			mu[i * prim[j]] = -mu[i];//此時i * prim[j]的本質不同質因子+1，或已經含有平方因子
		}
	}
	
	for(int i = 0;i < prim.size(); ++ i)
	{
		for(int j = 1; prim[i] * j  <= n; ++ j)
		{
			sum[prim[i] * j] += mu[j];
		}
	}
	
	for(int i = 1;i <= n; ++ i)sum[i] += sum[i - 1];
	
}

void solve()
{
	int n, m;scanf("%lld %lld", &n, &m);
	if(n > m)swap(n, m);
	int ans = 0;
	for(int l = 1, r;l <= n; l = r + 1)
	{
		r = min(n / (n / l), m / (m / l));
		ans += (sum[r] - sum[l - 1]) * (n / l) * (m / l);
	}
	printf("%lld\n", ans);
}

signed main()
{
	init();
	int _;scanf("%lld", &_);
	while(_ --)solve();
	return 0;
}

結束

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