寫一點比較trivial的題，畢竟比較菜，寫的東西可能比較菜吧。
Q1
設 \(f :\left[0,1\right]\rightarrow\left[0,1\right]\) 是連續函式，且對任何 \(x\in \left[0,1\right]\) 有 \(f\left(f\left(x\right)\right)=x\) .證明：如果 \(f\left(0\right)=0,f\left(1\right)=1\) ，則 \(f\left(x\right)\equiv x,\forall x\in\left[0,1\right]\) .
A1
反證法，不妨假設存在 \(x_0\) 使得 \(f\left(x_0\right)>x_0\) ，則由於 \(f\left(x\right)\in C\left[0,x_0\right],f\left(0\right)=0,f\left(x_0\right)>x_0\) ，由介值定理得到 \(\exist x_1\in\left(0,x_0\right)\) ，使得 \(f\left(x_1\right)=x_0\) 。於是 \(x_1=f\left(f\left(x_1\right)\right)=f\left(x_0\right)>x_0\) ，與 \(x_1\in\left(0,x_0\right)\) 矛盾。因此假設不成立。另一邊類似。