複變函式，自集英社歸來，唐唐復活！

\[\newcommand{\Co}{\operatorname C} \newcommand{\Am}{\operatorname A} \newcommand{\Vo}{\operatorname V} \newcommand{\Me}{\operatorname m} \newcommand{\Se}{\operatorname s} \newcommand{\Ne}{\operatorname N} \newcommand{\Fa}{\operatorname F} \newcommand{\Jo}{\operatorname J} \newcommand{\Om}{\operatorname\Omega} \newcommand{\Si}{\operatorname S} \newcommand{\Te}{\operatorname T} \newcommand{\Ga}{\operatorname G} \newcommand{\Wb}{\operatorname{Wb}} \newcommand{\He}{\operatorname H} \newcommand{\Ke}{\operatorname K} \newcommand{\Wa}{\operatorname W} \newcommand{\Var}{\operatorname{var}} \newcommand{\eV}{\operatorname{eV}} \newcommand{\v}{\vec} \newcommand{\b}{\boldsymbol} \newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\e}{\mathrm e} \newcommand{\j}{\mathtt j} \newcommand{\i}{\mathtt i} \newcommand{\vare}{\varepsilon} \newcommand{\varp}{\varphi} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\the}{\theta} \newcommand{\Emo}{\mathcal E} \newcommand{\ovl}{\overline} \newcommand{\para}{\parallel} \newcommand{\t}{\tilde} \]

現在我們嘗試解決靜電場的邊值問題。這個問題有著如下模型：給定曲面上各處電勢和內部的電荷分佈，由唯一性原理，曲面內部的電場、電勢分佈隨之確定。現在，我們試圖解出之。

一個最樸素的場合是曲面是帶電導體的邊界故而是等勢面，而其它位置都沒有電荷。此時，在無電荷的區域，由 Gauss 定理，有

\[\nabla\cdot\b E=\dfrac\rho{\vare_0}=0 \\\b E=-\nabla\varp \\\nabla^2\varp=0 \]

這是一個 Lagrange 方程的形式。一般而言，這是難以求出精確解的。

但是，如果電場在某一維上幾乎沒有變化，則它退化為二維問題

\[\dfrac{\p^2x}{\p x^2}+\dfrac{\p^2y}{\p y^2}=0 \]

此時可以使用複變函式方法解決。

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一個二維場 \(\b A=A_x\b i+A_y\b j\) 與複變函式 \(A+A_x+\i A_y\) 等效。

令 \(\b v=v_x\b i+v_y\b j\) 是不可壓縮理想液體的流速場。則 \(v_x,v_y\in\mathscr C^1\)。

若 \(\b v\) 是無源場，即 \(\nabla\cdot\b v=0\)，則有

\[\dfrac{\p v_x}{\p x}=-\dfrac{\p v_y}{\p y} \]

此時，令 \(-v_y\d x+v_x\d y\) 是某個二元函式 \(\psi\) 的全微分，則

\[\dfrac{\p\psi}{\p x}=-v_y,\dfrac{\p\psi}{\p y}=v_x \]

沿著等值線 \(\psi(x,y)=C\)，有 \(d\psi(x,y)=-v_y\d x+v_x\d y=0\)，因此等值線上有 \(\dfrac{\d y}{\d x}=\dfrac{v_y}{v_x}\)。即，\(\psi\) 等值線上每一點處的向量場 \(\b v\) 與等值線相切，\(\psi(x,y)=C\) 是流線，\(\psi\) 稱作流函式。

同時，對於無旋場的 \(\b v\)，有

\[\dfrac{\p v_y}{\p x}-\dfrac{\p v_x}{\p y}=0 \]

則令 \(v_x\d x+v_y\d y\) 是 \(\varp(x,y)\) 的全微分，可知有 \(\nabla\varp=\b v\)。則 \(\varp\) 是 \(\b v\) 的勢函式，其等值線為等勢線。

若 \(\b v\) 既無旋又無源（典型即為無電荷區域內的電場），則它同時有勢函式和流函式，比較可知有

\[\dfrac{\p\varp}{\p x}=\dfrac{\p\psi}{\p y},\dfrac{\p\varp}{\p y}=-\dfrac{\p\psi}{\p x} \]

這恰是 Cauchy-Riemann 方程。於是，

\[f(z)=\varp(x,y)+\i\psi(x,y) \]

則是一解析函式，稱作該平面場的 復勢。

有

\[v=v_x+\i v_y=\dfrac{\p\varp}{\p x}+\i\dfrac{\p\varp}{\p y}=\dfrac{\p\varp}{\p x}-\i\dfrac{\p\psi}{\p x}=\ovl{f'(z)} \]

於是有流速場 \(\b v\) 對應的復變形式 \(v\) 滿足 \(v(z)=\ovl{f'(z)}\) 的形式。

在電工學中，靜電場 \(\b E\) 使用滿足 \(\d u=-E_y\d x+E_x\d y\) 的函式作為力函式，\(\d v=-E_x\d x-E_y\d y\) 的函式作為勢函式，\(w=u+\i v\) 作為復勢，滿足

\[\b E=-\i\ovl{f'(z)} \]

與流速場的復勢差一個 \(-\i\) 的因子乃是電工學中習慣用法。

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微元 \(\d z\) 在可微函式 \(f(z)\) 的變換下變成了 \(\d z'\)。\(\d z\) 相對於 \(\d z'\)，有 \(\arg f'(z)\) 的輻角變換和 \(|f'(z)|\) 的長度伸縮；取同一點處的另一微元 \(\d\tilde z\)，類似分析則可知該變換是保角的。對於解析函式，其是處處保角的，因此也被稱作保角變換。

現在我們假設要求一個不太優秀的區域內的電勢分佈。我們可以嘗試對該區域應用保角變換，令該區域中的 \((x,y)\mapsto(\xi,\eta)\)。然後把 \(\nabla^2=\dfrac{\p^2}{\p x^2}+\dfrac{\p^2}{\p y^2}\) 用 \(\xi,\eta\) 表示，然後由 \(\xi,\eta\) 的 C-R 方程的一坨推導後可知，

\[\nabla^2=\left[\left(\dfrac{\p\xi}{\p x}\right)^2+\left(\dfrac{\p\xi}{\p y}\right)^2\right]\dfrac{\p^2}{\p\xi^2}+\left[\left(\dfrac{\p\eta}{\p x}\right)^2+\left(\dfrac{\p\eta}{\p y}\right)^2\right]\dfrac{\p^2}{\p\eta^2} \]

因為 \(f(x,y)=\xi(x,y)+\i\eta(x,y)\)，所以兩個係數都等於 \(|f'(z)|^2\)。於是有

\[\nabla_{x,y}^2=|f'(z)|^2\nabla_{\xi,\eta}^2 \]

這意味著，如果從 \(x,y\) 系變到 \(\xi,\eta\) 系後，Laplace 運算元會按照 \(|f'(z)|^2\) 的比例擴大。因此，如果初始是 Poisson 方程

\[\nabla^2\varp(x,y)=-\dfrac\rho{\vare_0} \]

那麼變換後的方程是

\[\nabla^2\varp(\xi,\eta)=-\dfrac1{|f'(z)|^2}\dfrac\rho{\vare_0} \]

令新的 \(\rho\) 是原來的 \(\dfrac1{|f'(z)|^2}\) 即可。例如，依此法算電容時，\(\rho\) 雖然縮小，但 \(\d S\) 的微元會被放大 \(|f'(z)|^2\) 倍，因此總 \(Q\) 是不變的；而 \(\varp\) 在兩個系中是統一的，因此 \(\varp\) 也不變，因此保角變換前後電容不變。

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常見保角變換諸如：

• 線性變換 \(f(z)=az+b\)。是樸素位似，一般不單獨使用。
• 冪/根變換 \(f(z)=z^n\) 或 \(f(z)=z^{1/n}\)。冪變換是 \(r\e^{\i\theta}\mapsto r^n\e^{\i n\theta}\)。這是好的，例如在某一個角度（如 \(60^\circ\)）取 \(z^3\) 即可變為半空間。在 \(\xi,\eta\) 空間中求出分佈後，逆變換為 \(x,y\) 空間即可得知原分佈。
• 指數函式 \(f(z)=e^xe^{\i y}\)，將平行於 \(x\) 軸的直線轉為過原點的直線，將平行於 \(y\) 軸的直線轉成以原點為圓心的圓。對數是其逆變換。

例：求兩個半徑為 \(R_1,R_2\) 的共心圓柱間的電容。

取 \(f=\ln z\)，其被變換為 \(x=\ln R_1,x=\ln R_2\)，\(y\in[0,2\pi]\) 的兩個平行板。其電容直接為 \(\dfrac{\vare_0 S}d=\dfrac{\vare_02\pi}{\ln R_2-\ln R_1}\)。

• 分式線性變換 \(f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}\)。變形為 \(\dfrac ac+\dfrac{(bc-ad)/c^2}{z+d/c}\)。其可以被看作先後經過 \(z\mapsto z+c_1\)，\(z\mapsto\dfrac{c_2}z\)，\(z\mapsto z+c_3\) 三個變換的疊加。一、三都是平移，而二可以將一個圓變成另一個圓。圓變換性質很牛：對於兩個對稱點（即生成 Apollonius 圓恰為該圓的二點），變換後仍然保持這一性質（即對稱點的像仍是對稱點）。這是因為，過對稱點的任意圓都與 Apollonius 圓正交（交點處，一個圓的半徑會切另一個圓），而保角變換保角進而保正交。