動態規劃之01揹包問題（最易理解的講解）

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01揹包問題，是用來介紹動態規劃演算法最經典的例子，網上關於01揹包問題的講解也很多，我寫這篇文章力爭做到用最簡單的方式，最少的公式把01揹包問題講解透徹。

01揹包的狀態轉換方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

題目描述：

有編號分別為a,b,c,d,e的五件物品，它們的重量分別是2,2,6,5,4，它們的價值分別是6,3,5,4,6，現在給你個承重為10的揹包，如何讓揹包裡裝入的物品具有最大的價值總和？

name	weight	value	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	2	6	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15
b	2	3	0	3	3	6	6	9	9	9	10	11
c	6	5	0	0	0	6	6	6	6	6	10	11
d	5	4	0	0	0	6	6	6	6	6	10	10
e	4	6	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6

只要你能通過找規律手工填寫出上面這張表就算理解了01揹包的動態規劃演算法。

首先要明確這張表是至底向上，從左到右生成的。

為了敘述方便，用e2單元格表示e行2列的單元格，這個單元格的意義是用來表示只有物品e時，有個承重為2的揹包，那麼這個揹包的最大價值是0，因為e物品的重量是4，揹包裝不了。

對於d2單元格，表示只有物品e，d時,承重為2的揹包,所能裝入的最大價值，仍然是0，因為物品e,d都不是這個揹包能裝的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

對於承重為8的揹包，a8=15,是怎麼得出的呢？

根據01揹包的狀態轉換方程，需要考察兩個值，

一個是f[i-1,j],對於這個例子來說就是b8的值9，另一個是f[i-1,j-Wi]+Pi；

在這裡，

 f[i-1,j]表示我有一個承重為8的揹包，當只有物品b,c,d,e四件可選時，這個揹包能裝入的最大價值

f[i-1,j-Wi]表示我有一個承重為6的揹包（等於當前揹包承重減去物品a的重量），當只有物品b,c,d,e四件可選時，這個揹包能裝入的最大價值

f[i-1,j-Wi]就是指單元格b6,值為9，Pi指的是a物品的價值，即6

由於f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大於f[i-1,j] = 9，所以物品a應該放入承重為8的揹包

以下是java的程式碼view plain copy

import java.util.Arrays;

public class Package01 {
	public static void main(String[] args) {
		int wholeWeight = 10;
		PackageItem[] packageItems = init();
		int[][] result = get01PackageAnswer(packageItems, wholeWeight);
		for (int i = 0; i < result.length; i++) {
			System.out.println(Arrays.toString(result[i]));
		}
	}
	
	private static int[][] get01PackageAnswer(PackageItem[] packageItems, int wholeWeight) {
		int[][] matrix = new int[packageItems.length][wholeWeight + 1];//二位陣列
		for (int i = 0; i < packageItems.length; i++) {//行
			PackageItem pi = packageItems[i];//要放進包的item
			int piWeight = pi.weight;
			int piValue = pi.value;
			
			for (int j = 1; j <= wholeWeight; j++) {//列
				int bagSize = j;//當前揹包的能承受的重量
				if (piWeight > bagSize) {//裝不了
					//matrix[i][j] = matrix[i][j - 1];
					
					if (i ==0) {//如果是第0行
						matrix[i][j] = 0;
					} else {
						matrix[i][j] = matrix[i - 1][j];
					}
				} else {
					int weightDiff = bagSize - piWeight;//裝入當前item，餘下的重量
					if (i ==0) {//如果是第0行
						matrix[i][j] = piValue;
					} else {
						int valueInBag = matrix[i - 1][weightDiff] + piValue;//f[i-1,j-Wi]+Pi(j >= Wi)
						matrix[i][j] = valueInBag > matrix[i - 1][j] ? valueInBag : matrix[i - 1][j];
					}
				}
			}
		}
		return matrix;
	}
	
	static PackageItem[] init() {
		String[] nameArr = {"a","b","c","d","e"};
		int[] weightArr = {2,2,6,5,4};
		int[] valueArr = {6,3,5,4,6};
		PackageItem[] packageItems = new PackageItem[nameArr.length];
		for (int i = 0; i < nameArr.length; i++) {
			PackageItem pi = new PackageItem(nameArr[i], weightArr[i], valueArr[i]);
			packageItems[i] = pi;
		}
		return packageItems;
	}
}
class PackageItem  
{  
    public String name;  
    public int weight;  
    public int value;  
    public PackageItem(String name, int weight, int value)  
    {  
        this.name = name;
        this.weight = weight;
        this.value = value;
    }  
}