保齡選手來寫下記錄。
A
由於 \(N < M\)，所有 \(i\) 在模 \(M\) 意義下互不相同。
這說明如果一個人至少有兩張牌，當前回合一定不會輸。
設 \(b\) 為 Bob 的最後一張牌。
Alice 打出最後一張牌後局面達到 \(N(N + 1) - b\)。當且僅當 \(b \equiv N(N + 1) \pmod M\)，Bob 勝。
設 \(c = N(N + 1) \bmod M\)
-
\(c \in [1, N]\)。
如果 Bob 一直將 \(c\) 保留到最後，他就贏了。
-
Bob 手中牌數 \(\ge 3\)。
可以用除 \(c\) 外的另外兩張來保證自己不會輸。
-
Bob 手中牌數等於 \(2\)。
設 Alice 打出最後一張牌為 \(a\)。
則 Bob 倒數第二輪不打 \(c\) 能達到的局面為 \(N(N + 1) - a - c \equiv -a\not\equiv 0\)，不會輸。
-
-
\(c \notin [1, N]\)，無論如何 Bob 都不會贏。
submission
B
定義一個非降序列是「好的」當且僅當序列極差不大於 \(1\)。
結論：答案合法當且僅當他能操作為一個好的序列。
充分性：好序列也是非降的。
必要性：任意非降序列都能操作為一個好序列：
- 每次找到靠的最近 \(i < j\) 滿足 \(A_j - A_i \ge 2\)，一定有 \(A_i < A_{i + 1}\)，否則 \(i + 1\) 更靠近 \(j\)，同理 \(A_{j - 1} < A_j\)。
- 操作後仍然滿足 \(A_{i}^{\prime} \le A_{i + 1} \le \cdots \le A_{j - 1} \le A_j^{\prime}\)。
- 不斷操作直到找不到 \(i, j\)（極差不大於 \(1\)）。
最後能轉化為的好的序列是唯一確定的，設為 \(B\)。
非法當且僅當存在 \(\sum_{j = 1}^iA_i > \sum_{j = 1}^iB_i\)：
一次操作 \(i, j\) 會使 \([i, j)\) 的字首和加一，\((j, n]\) 的字首和不變，即始終滿足 \(\forall i,\ B_i \ge A_i\)。
必要性顯然，考慮充分性。
不妨將一次操作當成 \(B\) 字首和上的區間加，如果任意 \(B_i \ge A_i\)，最樸素的構造即對 \((i, i + 1)\) 操作 \(B_i - A_i\) 次。
submission
C
記 \(f(x) = \sum [A_i = x],\ g(x) = \sum[i < j \land A_i + A_j = x]\)。
\(g\) 可以透過 \(f * f\) 再減掉點東西得到。
列舉 \(1 \le i \le n\)，判斷是否存在 \((j, k),\ j < k\) 對使得：
- \(i \ne j \land i \ne k\)。
- \(A_i + A_j + A_k = X\)。
一旦我們知道 \((j, k)\) 是否存在，即可用 \(O(N)\) 的時間找到一組解（列舉 \(j\)，至多列舉三個 \(A_k = X - A_i - A_j\)）。
考慮計算 \((j, k)\) 的個數：
即所有 \(j < k,\ A_j + A_k = X - A_i\) 的方案減去 \(i\) 為其中之一的方案。
時間複雜度 \(O(N + V\log V)\)。（NTT模數取1374389534721）
submission
D
E
首先有樸素 DP：
注意到
\(f\) 部分先不管，最後加一個字首和即可：
同時維護 \(g(d) = \sum_{d\mid a_j} 2^{j - 1}\)，時間複雜度 \(O(V\ln V + Nd(V))\)。
submission