一、問題描述
考慮一個粒子被限制在三維無限深方勢阱中，勢阱在三個方向上的邊界分別為：
- \(0 \leq x \leq L_x\)
- \(0 \leq y \leq L_y\)
- \(0 \leq z \leq L_z\)
在勢阱內部（即 \(0 \leq x \leq L_x\)、\(0 \leq y \leq L_y\)、\(0 \leq z \leq L_z\)），勢能 \(V = 0\)；而在勢阱外部，勢能 \(V = \infty\)。
二、薛定諤方程
在三個方向上無限深且相互獨立的勢阱中，三維時間無關薛定諤方程可以分離為三個一維問題。薛定諤方程表示式為：
\[-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(x, y, z) = E \psi(x, y, z)
\]
其中，\(\nabla^2\) 是拉普拉斯運算元，\(\psi\) 是波函式，\(E\) 是能量本徵值。波函式可以表示為三個方向上波函式的乘積：
\[\psi(x, y, z) = \psi_x(x) \psi_y(y) \psi_z(z)
\]
代入薛定諤方程，得到：
\[-\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{d^2 \psi_x}{dx^2} \psi_y \psi_z + \psi_x \frac{d^2 \psi_y}{dy^2} \psi_z + \psi_x \psi_y \frac{d^2 \psi_z}{dz^2} \right) = E \psi_x \psi_y \psi_z
\]
分離變數後得到三個獨立的方程：
\[-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{\psi_x} \frac{d^2 \psi_x}{dx^2} = E_x
\]
\[-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{\psi_y} \frac{d^2 \psi_y}{dy^2} = E_y
\]
\[-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{\psi_z} \frac{d^2 \psi_z}{dz^2} = E_z
\]
滿足總能量為：
\[E = E_x + E_y + E_z
\]
三、一維無限深勢阱的解
首先，考慮沿 \(x\) 方向的一維無限深勢阱，其邊界條件為：
\[\psi_x(0) = \psi_x(L_x) = 0
\]
對應的時間無關薛定諤方程為：
\[\frac{d^2 \psi_x}{dx^2} + k_x^2 \psi_x = 0
\]
其中，\(k_x = \sqrt{\frac{2mE_x}{\hbar^2}}\)。方程的通解為：
\[\psi_x(x) = A \sin(k_x x) + B \cos(k_x x)
\]
根據邊界條件：
- \(\psi_x(0) = 0\) 導致 \(B = 0\)
- \(\psi_x(L_x) = 0\) 導致 \(\sin(k_x L_x) = 0\)，即 \(k_x L_x = n_x \pi\)，其中 \(n_x = 1, 2, 3, \ldots\)
因此：
\[k_x = \frac{n_x \pi}{L_x}
\]
歸一化波函式為：
\[\psi_x(x) = \sqrt{\frac{2}{L_x}} \sin\left(\frac{n_x \pi x}{L_x}\right)
\]
對應的能量為：
\[E_x = \frac{\hbar^2 k_x^2}{2m} = \frac{\hbar^2 \pi^2 n_x^2}{2m L_x^2}
\]
類似地，沿 \(y\) 和 \(z\) 方向的一維無限深勢阱的波函式和能量分別為：
\[\psi_y(y) = \sqrt{\frac{2}{L_y}} \sin\left(\frac{n_y \pi y}{L_y}\right), \quad E_y = \frac{\hbar^2 \pi^2 n_y^2}{2m L_y^2}
\]
\[\psi_z(z) = \sqrt{\frac{2}{L_z}} \sin\left(\frac{n_z \pi z}{L_z}\right), \quad E_z = \frac{\hbar^2 \pi^2 n_z^2}{2m L_z^2}
\]
四、三維無限深勢阱的解
將三個方向的波函式組合起來，得到三維波函式：
\[\psi(x, y, z) = \sqrt{\frac{8}{L_x L_y L_z}} \sin\left(\frac{n_x \pi x}{L_x}\right) \sin\left(\frac{n_y \pi y}{L_y}\right) \sin\left(\frac{n_z \pi z}{L_z}\right)
\]
對應的總能量為：
\[E = E_x + E_y + E_z = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m} \left( \frac{n_x^2}{L_x^2} + \frac{n_y^2}{L_y^2} + \frac{n_z^2}{L_z^2} \right)
\]
五、總結
透過分離變數法，我們成功地將三維無限深勢阱的問題分解為三個獨立的一維問題，並得到了粒子的波函式和能量本徵值。