圖的儲存結構——鄰接矩陣與鄰接表
1 概述#
簡單的說，圖由表示資料元素的集合V和表示資料之間關係的集合E組成，記為G=<V,E>。圖又分為有向圖與無向圖。下面是圖的一些基本元素：
- 邊(edge)：頂點的序偶。
- 頂點(vertex)：資料元素。
- 權重(weight)：用來表示一個頂點到另一個頂點的距離、代價、耗費等。
- 度(degree)：與該頂點相關聯的邊的數目，入度、出度等等。
無向圖G1與有向圖G2
圖的基本型別常使用的有相鄰矩陣與鄰接表。下面將從兩方面介紹圖的儲存結構與基本操作。
2 圖的相鄰矩陣儲存型別#
圖的相鄰矩陣或鄰接矩陣表示定點之間的鄰接關係，即表示頂點之間有邊或沒有邊的情況。如下圖則是無向圖G1和有向圖G2的鄰接矩陣。
(a)無向圖G1的鄰接矩陣 (b)有向圖G2的鄰接矩陣
- 相鄰矩陣型別定義
對於有向圖，相鄰矩陣不一定對稱。因為如果相鄰矩陣第i行第j列的元素為1，則表示有一條從頂點vi到頂點vj的弧，而此時不一定存在由頂點vj到頂點vi的弧。
/*圖的相鄰矩陣儲存型別定義*/
#define MaxVertexNum 100 /*最大頂點數設為100*/
typedef enum{FALSE,TRUE} Boolean;
Boolean mark[MaxVertexNum];
typedef char VertexType; /*頂點型別設為字元型*/
typedef int EdgeType; /*邊的權值設為整型*/
typedef struct {
VertexType vexs[MaxVertexNum]; /*頂點表*/
EdgeType edges[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; /*鄰接矩陣，即邊表*/
int numVertex,numEdge; /*頂點數和邊數*/
}Mgragh,*MGragh; /*Maragh 是以鄰接矩陣儲存的圖型別*/
- 圖建立
首先定義相鄰矩陣的尺寸，即定點數和邊數。
輸入每條邊資訊，vi為初始點，vj為終止點。將鄰接表中的edges[i][j]設定為1，代表起點為i，終點為j，存在一條邊。
void CreateMGraph(MGragh G){/*建立有向圖G 的鄰接矩陣儲存*/
int i,j,k,w;
char ch;
cout<<"請輸入頂點數和邊數";
cin>>i>>j;
G->numVertex=i;
G->numEdge=j;
cout<<"請輸入頂點資訊:"<<endl;
for (i=0;i<G->numVertex;i++) {cout<<"第"<<i<<"個點:";cin>>G->vexs[i];} /*輸入頂點資訊，建立頂點表*/
for (i=0;i<G->numVertex;i++)
for (j=0;j<G->numVertex;j++)
G->edges[i][j]=0; /*初始化鄰接矩陣*/
cout<<"請輸入每條邊對應的兩個頂點的序號:\n";
for (k=0;k<G->numEdge;k++){
cout<<"v<i,j>:";
cin>>i>>j; /*輸入e 條邊，建立鄰接矩陣*/
G->edges[i][j]=1;
}
}
- 判斷邊類
FirstEdge即返回以v為頂點的第一條邊。它的想法是：返回以頂點v的編號的相鄰矩陣行，從j=0開始遍歷，直到搜尋到矩陣元素為1時，表示i到j有一條邊，於是返回此條邊。
NextEdge即返回以v為頂點的下一條邊。當輸入邊edge時，將返回以edge.from的編號相同的矩陣行，從j=edge.to+1開始遍歷，直到搜尋到矩陣元素為1時，表示i到j有一條邊，返回此邊。
Edge FirstEdge(MGragh G,int oneVertex){
Edge myEdge;
myEdge.from=oneVertex;
for(int i=0;i<G->numVertex;i++){
if(G->edges[oneVertex][i]!=0){
myEdge.to=i;
myEdge.weight=G->edges[oneVertex][i];
break;
}
}
return myEdge;
}
Edge NextEdge(MGragh G,Edge preEdge){
Edge myEdge;
myEdge.from =preEdge.from ;
if(preEdge.to <G->numVertex){
for(int i=preEdge.to+1;i<G->numVertex;i++){
if(G->edges[preEdge.from][i]!=0){
myEdge.to =i;
myEdge.weight =G->edges[preEdge.from ][i];
break;
}
}
}
return myEdge;
}
bool isEdge(MGragh G, Edge myEdge){
int test=0;
for(int i=0;i<G->numVertex;i++){
if(myEdge.to>=0&&G->edges[myEdge.from][myEdge.to]==1)return true;
}
return false;
}
- 兩種周遊演算法
以有向圖G2為例：
深度優先搜尋的周遊演算法如下：假設從v0點出發，首先將v0的標誌位設定為TRUE，然後從v0的第一條邊出發，尋找第一條邊的終點v2。因為v2為被訪問過，因此將v2標誌位設定為TRUE。從v2出發，尋找v2的第一條邊終點為v3。因為v3為被訪問過，因此設v3的標誌位為TRUE。從v3出發，尋找v3的第一條邊終點為v0，標誌位為TRUE說明已被訪問過。返回上一個頂點v2，尋找v2的nextEdge，無。返回v0，尋找v0的nextEdge，為v1，標識v1為TRUE。遍歷完畢。
廣度優先演算法的周遊如下：假設從v0出發。首先將v0的標誌位設定為TRUE，將v0入隊。因為佇列不為空，所以取出front，設定為u，同時pop掉front。尋找v0的第一條邊的終點v2。輸出v2，並將其push入佇列；尋找v0的第二條邊的終點v1,，輸出v1，並將其push入佇列；尋找v0的第三條邊的終點，無。返回取出front，將v2設定為u，pop掉它。尋找v2的第一條邊v3，輸出v3並將其push如佇列；尋找v2的第二條邊，無。返回取出front，將v1設定為u，pop掉它。尋找v1的第一條邊，無。返回取出front，將v3設定為u，pop掉它，尋找v3的第一條邊v0，因為以被訪問，因此跳過；尋找v3的第二條邊，無。演算法結束。
//深度優先周遊
void DFS(MGragh G, int v){
mark[v]=TRUE;
cout<<G->vexs[v];
for(Edge e=FirstEdge(G,v);isEdge(G,e);e=NextEdge(G,e)){
if(mark[e.to]==FALSE) DFS(G,e.to);
}
}
void DFSM(MGragh G,int v){
for(int i=0;i<G->numVertex;i++){
mark[i]=FALSE;
}
DFS(G,0);
}
//廣度優先周遊
void BFS(MGragh G, int v){
for(int i=0;i<G->numVertex;i++){
mark[i]=FALSE;
}
using std::queue;
queue<int>Q;
cout<<G->vexs[v];
mark[v]=TRUE;
Q.push(v);
while(!Q.empty()){
int u=Q.front();
Q.pop();
for(Edge e=FirstEdge(G,u);isEdge(G,e);e=NextEdge(G,e))
if(mark[e.to]==FALSE){
cout<<G->vexs[e.to];
mark[e.to]=TRUE;
Q.push(e.to);
}
}
}
3 圖的鄰接表儲存型別#
當圖中的邊數較少時，相鄰矩陣就會出現大量的0元素，儲存這些0元素將消耗大量的儲存空間。
鄰接表表示法是一種鏈式儲存結構，由一個順序儲存的頂點表和n個連結串列儲存的邊表組成。頂點表目有兩個域：頂點資料域和指向此頂點邊表指標域。邊表把依附於同一個頂點vi的邊（即相鄰矩陣中同一行的非0元素）組織成一個單連結串列。邊表中的每一個表目都代表一條邊，由兩個主要的域組成：與頂點vi鄰接的另一個頂點的序號、指向邊表中下一個邊表的目的指標。
頂點結點和邊結點的結構如下：
Paste_Image.png
與鄰接矩陣儲存型別相似，鄰接表的基本函式依然包括FirstEdge，NextEdge和isEdge。這裡不再重複，下面只給出廣度周遊和深度周遊演算法。
- 鄰接表型別定義
using namespace std;
#define MAX_VERTEXT_NUM 20
typedef enum{FALSE,TRUE} Boolean;
Boolean mark[MAX_VERTEXT_NUM];
typedef struct edge{ /*邊定義*/
int from,to,weight;
}Edge,*Edged;
typedef struct ArcNode{ /*邊結點定義*/
int adjvex;
struct ArcNode *nextArc;
int weight;
}ArcNode;
typedef struct VNode{ /*頂點定義*/
char data;
ArcNode *firstArc;
}VNode, AdjList[MAX_VERTEXT_NUM];
typedef struct Indegree{ /*每個點的入度*/
int indegree;
}Indegree,indegree[MAX_VERTEXT_NUM];
typedef struct{ /*圖定義*/
AdjList verTices;
int vexNum;
int arcNum;
int kind;
indegree Indegree;
}ALGraph;
- 圖的鄰接表儲存型別建立
首先輸入頂點和邊的個數，同時申請頂點個數的結點空間。
每次輸入邊的鄰接關係時i-j時，首先申請一個邊結點空間給，結點的adjvex為j，nextarc為頭結點firstarc的nextarc，頭結點的firstarc變為此j結點arcnode。
鄰接表插入頂點
void CreateGraph(ALGraph *G)
{
int i,j,k,weight;
ArcNode *arcNode;
printf_s("請輸入頂點數和邊數：");
cin>>G->vexNum;
cin>>G->arcNum;
//建立頂點表
printf_s("建立頂點表\n");
for (i = 0; i < G->vexNum; i++)
{
printf_s("請輸入第%d個頂點:", i);
cin>>G->verTices[i].data;
arcNode = (ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode));
arcNode->adjvex=i;
arcNode->nextArc=NULL;
G->verTices[i].firstArc=arcNode;
G->Indegree[i].indegree=0;
}
//建立邊表
printf_s("建立邊表\n");
for (k = 0; k < G->arcNum; k++)
{
printf_s("請輸入（vi-vj）的頂點對序號");
cin>>i;
cin>>j;
arcNode = (ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode));
arcNode->adjvex = j;
arcNode->nextArc = G->verTices[i].firstArc->nextArc;//插入表頭
G->verTices[i].firstArc ->nextArc= arcNode;
G->Indegree[j].indegree++;
}
}
- 兩種周遊演算法
深度優先周遊：對於鄰接表儲存型別，它採用遞迴演算法，從起始點v0沿著鄰接表一次訪問，直到next指標為NULL，則返回上一層，進入上一層頂點v1所在的連結串列繼續逐個訪問。
廣度周遊與相鄰矩陣法類似，這裡不做闡述。演算法如下：
//深度優先周遊
void DFSM(ALGraph *G,int i){
ArcNode *p;
cout<<G->verTices[i].data;
mark[i]=TRUE;
p=G->verTices[i].firstArc;
while(p){
if(mark[p->adjvex]==FALSE)
DFSM(G,p->adjvex);
p=p->nextArc;
}
}
void DFS(ALGraph *G){
for ( int i=0; i<G->vexNum;i++)
mark[i]=FALSE;
for( int i=0; i<G->vexNum;i++)
if(!mark[i])
DFSM(G,i);
}
//廣度優先周遊
void BFS(ALGraph *G,int x){
ArcNode *p;
int w;
using std::queue;
queue<int> Q;
for ( int i=0; i<G->vexNum;i++) {mark[i]=FALSE;}
cout<<G->verTices[x].data;
mark[x]=TRUE;
Q.push(x);
while(!Q.empty()){
int v=Q.front();
Q.pop();
p=G->verTices[v].firstArc;
while(p){
int w=p->adjvex;
if(mark[w]==FALSE){
mark[w]=TRUE;
cout<<G->verTices[w].data;
Q.push(w);}
p=p->nextArc;
}
}
}
- 拓撲排序
有向圖的邊可以看做定點之間制約關係的描述。在工程實踐中，有些工程的進行經常受到一定條件的約束，例如一個工程專案通常由若干子工程組成，某些子工程完成之後另一些子工程才能開始。
一個無環的有向圖稱為有向無環圖，有向無環圖常用來描述一個過程或一個系統的進行過程。對於有向無環圖G=<V,E>，如果頂點序列滿足：存在頂點vi到vj的一條路徑，那麼在序列中頂點vi必在頂點vj之前，頂點集合V的這種線型序列稱作一個拓撲序列。
進行有向圖的拓撲序列方法如下：
- 從有向圖中選出一個沒有前驅（入度為0）的頂點並輸出。
- 刪除圖中該頂點和所有以它為起點的弧。
不斷重複上述兩個步驟，會出現兩種情形：要麼有向圖中頂點全部被輸出，要麼當前圖中不存在沒有前驅的頂點。當圖中的頂點全部輸出時，就完成了有向無環圖的拓撲排序；當圖中還有頂點沒有輸出時，說明有向圖中含有環。
它的工作思想如下：
拓撲排序
//拓撲排序
void TopsortbyQueue(ALGraph*G){
for(int i=0; i< G->vexNum;i++)
mark[i]=FALSE;
using std::queue;
queue<int> Q;
cout<<"拓撲序列為:"<<endl;
for(int i=0; i< G->vexNum;i++){
if(G->Indegree[i].indegree==0)
Q.push(i);}
while(!Q.empty()){
int v=Q.front();
Q.pop();
cout<<v;
mark[v]=TRUE;
for(Edge e=FirstEdge(G,v);isEdge(G,e);e=NextEdge(G,e)){
G->Indegree[e.to].indegree--;
if(G->Indegree[e.to].indegree ==0)
Q.push(e.to);
}
}
for(int i=0;i< G->vexNum;i++)
if(mark[i]==FALSE){
cout<<endl;
cout<<"還有頂點未訪問，此圖有環。"<<endl;
break;
}
}
4 總結#
明顯感覺到寫得多了對於語言的運用更熟練了，也更有了設計演算法需要的邏輯思想。這個寫的還算比較順隨著思維和語言能力提升，希望能在acm校選賽比賽上有好的發揮過兩天來更新結果！
5 附錄#
鄰接矩陣：
鄰接矩陣測試結果
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
#define MaxVertexNum 100 /*最大頂點數設為100*/
typedef enum{FALSE,TRUE} Boolean;
Boolean mark[MaxVertexNum];
typedef char VertexType; /*頂點型別設為字元型*/
typedef int EdgeType; /*邊的權值設為整型*/
typedef struct {
VertexType vexs[MaxVertexNum]; /*頂點表*/
EdgeType edges[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; /*鄰接矩陣，即邊表*/
int numVertex,numEdge; /*頂點數和邊數*/
}Mgragh,*MGragh; /*Maragh 是以鄰接矩陣儲存的圖型別*/
typedef struct edge{
int from,to,weight;
}Edge,*Edged;
void CreateMGraph(MGragh G){/*建立有向圖G 的鄰接矩陣儲存*/
int i,j,k,w;
char ch;
cout<<"請輸入頂點數和邊數";
cin>>i>>j;
G->numVertex=i;
G->numEdge=j;
cout<<"請輸入頂點資訊:"<<endl;
for (i=0;i<G->numVertex;i++) {cout<<"第"<<i<<"個點:";cin>>G->vexs[i];} /*輸入頂點資訊，建立頂點表*/
for (i=0;i<G->numVertex;i++)
for (j=0;j<G->numVertex;j++)
G->edges[i][j]=0; /*初始化鄰接矩陣*/
cout<<"請輸入每條邊對應的兩個頂點的序號:\n";
for (k=0;k<G->numEdge;k++){
cout<<"v<i,j>:";
cin>>i>>j; /*輸入e 條邊，建立鄰接矩陣*/
G->edges[i][j]=1;
}
}
void displaygraph(MGragh G){
int i,j;
for(i=0;i<G->numVertex;i++){
for(j=0;j<G->numVertex;j++){
cout<<G->edges[i][j]<<" ";}
cout<<endl;
}
}
Edge FirstEdge(MGragh G,int oneVertex){
Edge myEdge;
myEdge.from=oneVertex;
for(int i=0;i<G->numVertex;i++){
if(G->edges[oneVertex][i]!=0){
myEdge.to=i;
myEdge.weight=G->edges[oneVertex][i];
break;
}
}
return myEdge;
}
Edge NextEdge(MGragh G,Edge preEdge){
Edge myEdge;
myEdge.from =preEdge.from ;
if(preEdge.to <G->numVertex){
for(int i=preEdge.to+1;i<G->numVertex;i++){
if(G->edges[preEdge.from][i]!=0){
myEdge.to =i;
myEdge.weight =G->edges[preEdge.from ][i];
break;
}
}
}
return myEdge;
}
bool isEdge(MGragh G, Edge myEdge){
int test=0;
for(int i=0;i<G->numVertex;i++){
if(myEdge.to>=0&&G->edges[myEdge.from][myEdge.to]==1)return true;
}
return false;
}
//深度優先周遊
void DFS(MGragh G, int v){
mark[v]=TRUE;
cout<<G->vexs[v];
for(Edge e=FirstEdge(G,v);isEdge(G,e);e=NextEdge(G,e)){
if(mark[e.to]==FALSE) DFS(G,e.to);
}
}
void DFSM(MGragh G,int v){
for(int i=0;i<G->numVertex;i++){
mark[i]=FALSE;
}
DFS(G,0);
}
//廣度優先周遊
void BFS(MGragh G, int v){
for(int i=0;i<G->numVertex;i++){
mark[i]=FALSE;
}
using std::queue;
queue<int>Q;
cout<<G->vexs[v];
mark[v]=TRUE;
Q.push(v);
while(!Q.empty()){
int u=Q.front();
Q.pop();
for(Edge e=FirstEdge(G,u);isEdge(G,e);e=NextEdge(G,e))
if(mark[e.to]==FALSE){
cout<<G->vexs[e.to];
mark[e.to]=TRUE;
Q.push(e.to);
}
}
}
int main(){
Mgragh *Graph = (Mgragh *)malloc(sizeof(Mgragh));
CreateMGraph(Graph);
displaygraph(Graph);
cout<<endl;
BFS(Graph,0);
cout<<endl;
DFSM(Graph,0);
system("pause");
return 0;
}
鄰接表
鄰接表
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAX_VERTEXT_NUM 20
typedef enum{FALSE,TRUE} Boolean;
Boolean mark[MAX_VERTEXT_NUM];
typedef struct edge{
int from,to,weight;
}Edge,*Edged;
typedef struct ArcNode{
int adjvex;
struct ArcNode *nextArc;
int weight;
}ArcNode;
typedef struct VNode{
char data;
ArcNode *firstArc;
}VNode, AdjList[MAX_VERTEXT_NUM];
typedef struct Indegree{
int indegree;
}Indegree,indegree[MAX_VERTEXT_NUM];
typedef struct{
AdjList verTices;
int vexNum;
int arcNum;
int kind;
indegree Indegree;
}ALGraph;
typedef struct Dist{
int index;
int length;
int pre;
}Dist,*Dijk;
edge FirstEdge(ALGraph *G,int oneVertex){
Edge myEdge;
myEdge.from=oneVertex;
ArcNode *temp=G->verTices[oneVertex].firstArc;
if(temp->nextArc!=NULL){
myEdge.to=temp->nextArc->adjvex;
myEdge.weight=temp->nextArc->weight;
}
return myEdge;
}
edge NextEdge(ALGraph *G,Edge preEdge){
Edge myEdge;
myEdge.from =preEdge.from;
ArcNode *temp=G->verTices[preEdge.from].firstArc;
while(temp->nextArc!=NULL&&temp->adjvex<=preEdge.to)
temp=temp->nextArc;
if(temp->nextArc!=NULL){
myEdge.to=temp->nextArc->adjvex;
myEdge.weight=temp->nextArc->weight;
}
return myEdge;
}
bool isEdge(ALGraph *G, Edge myEdge){
int n=0;
ArcNode *p;
p=G->verTices[myEdge.from].firstArc;
while(p){
if(p->adjvex==myEdge.to){
n=0;
}else{
n=1;
}
p=p->nextArc;
}
if(n==0){return true;}
else{
return false;
}
}
void CreateGraph(ALGraph *G)
{
int i,j,k,weight;
ArcNode *arcNode;
printf_s("請輸入頂點數和邊數：");
cin>>G->vexNum;
cin>>G->arcNum;
//建立頂點表
printf_s("建立頂點表\n");
for (i = 0; i < G->vexNum; i++)
{
printf_s("請輸入第%d個頂點:", i);
cin>>G->verTices[i].data;
arcNode = (ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode));
arcNode->adjvex=i;
arcNode->nextArc=NULL;
G->verTices[i].firstArc=arcNode;
G->Indegree[i].indegree=0;
}
//建立邊表
printf_s("建立邊表\n");
for (k = 0; k < G->arcNum; k++)
{
printf_s("請輸入（vi-vj）的頂點對序號");
cin>>i;
cin>>j;
arcNode = (ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode));
arcNode->adjvex = j;
arcNode->nextArc = G->verTices[i].firstArc->nextArc;//插入表頭
G->verTices[i].firstArc ->nextArc= arcNode;
G->Indegree[j].indegree++;
}
}
//顯示圖的鄰接表
void DisplayGraph(ALGraph *G)
{
int i;
for (i = 0; i < G->vexNum; i++)
{
cout<<G->Indegree[i].indegree;
ArcNode *P= G->verTices[i].firstArc;
printf_s("%d->", i);
while (P != NULL)
{
printf_s("%d->", P->adjvex);
P = P->nextArc;
}
printf_s("\n");
}
}
//深度優先周遊
void DFSM(ALGraph *G,int i){
ArcNode *p;
cout<<G->verTices[i].data;
mark[i]=TRUE;
p=G->verTices[i].firstArc;
while(p){
if(mark[p->adjvex]==FALSE)
DFSM(G,p->adjvex);
p=p->nextArc;
}
}
void DFS(ALGraph *G){
for ( int i=0; i<G->vexNum;i++)
mark[i]=FALSE;
for( int i=0; i<G->vexNum;i++)
if(!mark[i])
DFSM(G,i);
}
//廣度優先周遊
void BFS(ALGraph *G,int x){
ArcNode *p;
int w;
using std::queue;
queue<int> Q;
for ( int i=0; i<G->vexNum;i++) {mark[i]=FALSE;}
cout<<G->verTices[x].data;
mark[x]=TRUE;
Q.push(x);
while(!Q.empty()){
int v=Q.front();
Q.pop();
p=G->verTices[v].firstArc;
while(p){
int w=p->adjvex;
if(mark[w]==FALSE){
mark[w]=TRUE;
cout<<G->verTices[w].data;
Q.push(w);}
p=p->nextArc;
}
}
}
//拓撲排序
void TopsortbyQueue(ALGraph*G){
for(int i=0; i< G->vexNum;i++)
mark[i]=FALSE;
using std::queue;
queue<int> Q;
cout<<"拓撲序列為:"<<endl;
for(int i=0; i< G->vexNum;i++){
if(G->Indegree[i].indegree==0)
Q.push(i);}
while(!Q.empty()){
int v=Q.front();
Q.pop();
cout<<v;
mark[v]=TRUE;
for(Edge e=FirstEdge(G,v);isEdge(G,e);e=NextEdge(G,e)){
G->Indegree[e.to].indegree--;
if(G->Indegree[e.to].indegree ==0)
Q.push(e.to);
}
}
for(int i=0;i< G->vexNum;i++)
if(mark[i]==FALSE){
cout<<endl;
cout<<"還有頂點未訪問，此圖有環。"<<endl;
break;
}
}
int main(){
int x;
int num;
string edge;
ALGraph *Graph = (ALGraph *)malloc(sizeof(ALGraph));
CreateGraph(Graph);
DisplayGraph(Graph);
DFS(Graph);
BFS(Graph,0);
TopsortbyQueue(Graph);
system("pause");
}
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