The 3rd Universal Cup 做題記錄
Stage 0 - Stage 9：The 3rd Universal Cup 做題記錄 (1)
Stage 10 - Stage 19：The 3rd Universal Cup 做題記錄 (2)
The 3rd Universal Cup. Stage 10: West Lake
A. Italian Cuisine
複製一遍，列舉 \(i\) 維護右端點 \(j\)。要求 \((x,y)\) 到過 \((a_i,b_i),(a_j,b_j)\) 的直線距離大於 \(r\) 或 等於 \(r\) 且交點不線上段上，即 \(\angle OIJ\) 和 \(\angle OJI\) 至少一個為鈍角，即兩個向量的數量積小於零。要求 \((a_i,b_i),(x,y),(a_j,b_j)\) 的夾角和 \((a_i,b_i),(x,y),(a_{j-1},b_{j-1})\) 的夾角同正負，即兩個向量的叉積同正負。三點座標求面積 \(S=\frac{\lvert x1y2+x2y3+x3y1-x1y3-x2y1-x3y2\rvert}{2}\)。
C. Permutation
大概在 \(\frac{2}{3}n\log n\) 級別。線段樹維護區間 \([l,r]\) 有什麼數，每次隨機取出兩個數，將左半邊設為 \(u\)，右半邊設為 \(v\) 詢問。如果 \(ans=0/2\) 可以將 \(u,v\) 放入左右兒子，否則如果這是第一次，就把 \(u,v\) 放回去重來，否則一定找得到一個數 \(x\)，將某半邊設為 \(x\) 再問一遍。理論上是 \(\frac{3}{4}n\log n\)，加上剪枝次數就差不多剛好了，偶爾會超。
D. Collect the Coins
按 \(t_i\) 排序，二分答案 \(x\)。設 \(dp_{i,j}\) 為前 \(i\) 個詢問，另一個人在詢問 \(j\)。如果 \(\lvert p_i-p_{i-1}\rvert\le x\times (t_i-t_{i-1})\)，\(dp_{i,j}\) 繼承 \(dp_{i-1,j}\)。然後再考慮 \(j\) 更新 \(dp_{i,i-1}\)。拆絕對值有 \(p_i+xt_i\ge p_j+xt_j\) 且 \(p_i-ct_i\le p_j-xt_j\)。維護對應的 \(mn\) 和 \(mx\) 即可。
G. Stop the Castle 2
列舉障礙，如果一個障礙能破壞一橫一豎兩對車，連邊二分圖匹配。其餘的一次斷一隊車，set 維護是否存在一橫或一豎相鄰的車。
H. Intersection of Paths
按 \(k\) 從大往小回答，不斷加入兩端的 siz 較小值符合 \(k\) 的邊。動態修改邊權求直徑。直徑表示為尤拉序上連續的 \(u,v,w\) 的 \(dis_u-2dis_v+dis_w\)，線段樹維護區間加和式子的部分的最大值。
K. Palindromic Polygon
複製一遍，設 \(dp_{i,j,0/1/2}\) 為區間 \([i,j]\) 中選了 \(i,j\) 且是迴文串、除了 \(i\) 是迴文串，除了 \(j\) 是迴文串的最大面積。
L. Cosmic Travel
建 trie 樹，對於每個節點求出異或上所有 \(j\in [0,2^d)\) 的 前 \(k\le siz\) 的和，可以由左右兒子推知。詢問時在 \(l,r\) 覆蓋整個 \([0,2^d)\) 時回答。複雜度 \(O(n\log V)\)。