引言

各大網際網路公司的春季招聘都在如火如荼地進行著，在筆試環節，除了考察應聘者（技術崗）的資料結構、計算機網路等計算機基礎知識外，也不乏一些有趣的數學問題，例如：

一道阿里巴巴2017春季實習生招聘筆試選擇題，大意是：一名程式設計師需要在週一至週五5天的工作日裡需要提交7次程式碼，問有多少種提交方案？

針對此類同素分堆問題，我們可以運用隔板法來解決。

理解隔板法

隔板法就是在n個元素間的（n-1）個空中插入k個板，可以把n個元素分成k+1組的方法。　　

應用隔板法必須滿足3個條件： 　　
（1） 這n個元素必須互不相異；
（2） 所分成的每一組至少分得1個元素；
（3） 分成的組別彼此相異。

例1. 求方程 x+y+z=10的正整數解的個數。
分析：將10個球排成一排，球與球之間形成9個空隙，將兩個隔板插入這些空隙中（每空至多插一塊隔板），規定由隔板分成的左、中、右三部分的球數分別為x、y、z之值（如下圖）。則隔法與解的個數之間建立了一一對立關係，故解的個數為C（9，2）=36（個）。

例2. 求方程 x+y+z=10的非負整數解的個數。（新增球數用隔板法）
分析：注意到x、y、z可以為零，故例1解法中的限定“每空至多插一塊隔板”就不成立了，怎麼辦呢？只要新增三個球，給x、y、z各新增一個球，這樣原問題就轉化為求 x+y+z=13的正整數解的個數了，易得解的個數為C（12，2）=66（個）。

例3. 將20個相同的小球放入編號分別為1，2，3，4的四個盒子中，要求每個盒子中的球數不少於它的編號數，求放法總數。（減少球數用隔板法）
分析：先在編號1，2，3，4的四個盒子內分別放0，1，2，3個球，剩下14個球，有1種方法；再把剩下的球分成4組，每組至少1個，由例1知方法有C（13，3）=286（種）。

可見，利用隔板法我們可以非常簡便地解決此類排列組合問題。

程式碼實現

以上問題可以抽象為：將n個相同的球放入m個盒子中（編號依次為1,2,…,m），盒子中的球數可以為0，輸出所有的放置方法及方法數。

思路：

程式碼如下：

#include <stdio.h>

int count = 0;

void f(int* r, int* p, int n, int m)
{
  if(m == 1)
  {
    ++count;

    for(; r != p; ++r)
    {
      printf("%d", *r);
    }
    printf("%d\n", n);   
  }
  else
  {
    for(*p = 0; *p <= n; ++*p)
    {
      f(r, p + 1, n - *p, m - 1);
    }
  }
} 

void g(int n, int m)
{
  int r[m];
  f(r, r, n, m);
}

int main()
{
  int n, m;
  printf("Please input the number of balls:\n");
  scanf("%d", &n);
  printf("Please input the number of boxes:\n");
  scanf("%d", &m);
  g(n, m);
  printf("The number of solutions:%d\n", count);
  return 0;
}

執行截圖：

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參考資料：
n個球放入m個盒子，使用程式輸出所有的放法？ https://www.zhihu.com/question/51448931