回顧 - 什麼是群

一、定義
定義1 設G是定義了一個二元運算+的集合，如果這個運算滿足下列性質：
（1）封閉性——如果a和b都屬於G，則a+b也屬於G。

（2）結合律——對於G中的任意元素a、b和c，都有（a+b）+c=a+（b+c）成立。

（3）單位元——G中存在元素e，對於G中任意元素a，都有a+e=e+a=a成立。

（4）逆元——對於G中任意元素a，G中都存在元素a'，使得a+a'=a'+a=e成立。G就叫作一個群，記為（G，+）。

如果這裡的運算+是加法運算，則稱G為加法群；如果這裡的運算+是乘法運算，則稱G為乘法群。如果一個群中的元素是有限的，則稱這個群是一個有限群；否則稱這個群是一個無限群。有限群中元素的個數稱為群的階。

例：集合｛0，1｝關於xor運算是群，階為2
封閉性：0 xor 1 = 1屬於該群
結合律：（0 xor 1）xor 0 = 1 = 0 xor （1 xor 0）
單位元為0：0 xor 0 = 0，0 xor 1 = 1
逆元為1：1 xor 0 = 1，1 xor 1 = 0

又如：自然數集合N=｛1，2，3…｝對於通常的加法封閉且滿足結合律，但不存在左單位元和左逆元，因此對於加法不是群。

如果群（G，+）中的運算+還滿足交換律，即對G中的任意元素a和b，都有a+b=b+a成立，則稱G為一個交換群或Abel群，例如整數關於加法的運算（Z，+）就為交換群。

在群中定義求冪運算為重複使用群中的運算，如a⁴=a+a+a+a。規定a⁰=e為單位元。如果一個群的所有元素都是a的冪a^k，則稱這個群是一個迴圈群，這裡的k是整數。a也被稱為這個群的生成元。

例：整數加法群是一個迴圈群，1是生成元，每一個元素都是1的冪，如：
4=1⁴=1+1+1+1
-3=1 ^-3=（-1）+（-1）+（-1）
而且規定0=1 ⁰，即0為0個1相加。

（注：定義中的“+”並不代表具體的加法，而是抽象的加法——代表一種代數運算）

定義2 給定群G中元素a，稱滿足aⁱ=e的最小正整數i為元素a的階。

二、群的基本性質
（1）左逆元同時也是右逆元，即對於a，b∈G，b+a=e，則a+b=e。

（2）左單位元同時也是右單位元，即如果對於所有的a∈G有ea=e，則對於所有的a∈G也有ae=e。

（3）單位元是唯一的。

（4）逆元是唯一的。

雙線性對映

抽象意義的雙線性對映描述如下：

設G₁、G₂都是階為p的迴圈群，p是素數。如果對映e: G₁ × G₁ → G₂ 滿足以下性質：
（1）雙線性性。
對於任意a，b∈Z_p和R，S∈G₁，有e(R^a, S^b) = e(R, S)^ab；

（2）非退化性。
存在R，S∈G₁，使得e(R, S) ≠ 1_G2。這裡1_G2代表G₂群的單位元；

（3）可計算性。
存在有效的演算法對任意的R，S∈G₁，計算e(R, S)的值。

那麼稱e是一個雙線性對映。
雙線性對映可以通過有線域上的超橢圓曲線上的Tate對或Weil對來構造。