1、辛普森悖論

辛普森悖論是資料分析中最常見的悖論之一，舉個最實際的例子來說：

鴨堡某學期期末考試，考數學、物理、化學三科，A的數學比B高2分，物理比B高15分，化學比C高3分，請問A的總分是否比B高？

很多人會說，這不是廢話麼，問題太簡單了，當然是A的總分比B高了！

實際上很可能A的總成績低於B，別急著驚訝，我們不妨再看一個例子：

很多人都愛看NBA比賽，最近幾年的騎勇大戰，使得詹姆斯和庫裡在球迷心目中的印象非常深，有一場騎勇大戰，詹姆斯和庫裡的兩分球與三分球命中率如下表所示：

其中：

兩分球命中率 = 兩分球命中數 / 兩分球出手數 * 100%

三分球命中率 = 三分球命中數 / 三分球出手數 * 100%

那麼請問本場比賽，詹姆斯的投籃命中率，是否低於庫裡？

投籃命中率 = (兩分球命中數 + 三分球命中數) / (兩分球出手數 + 三分球出手數) * 100%

很多人也會說，這不是跟上面期末考試那個題一樣簡單嘛，這還用說嘛，肯定是詹姆斯的投籃命中率低於庫裡呀！我們把細項的資料拉出來看，確實是這樣的：

但是，這真的是廢話麼？我們再來看另一場比賽這兩位兄弟的表現吧：

這一場比賽，詹姆斯和庫裡誰的投籃命中率高呢？這次你如果還說這是廢話，當然是庫裡的投籃命中率高了，那這回你可就沒這麼幸運了，讓我們看看細項資料吧：

是的，你沒有看錯，詹姆斯的兩分球命中率也低於庫裡，三分球命中率也低於庫裡，但是彙總起來看，詹姆斯的投籃命中率是要高於庫裡的！

問題來了，這是怎麼回事呢？這不符合常理啊！

這個“不符合常理”的現象，在資料分析領域中會時不時遇到的，並且在業內有個專門的術語： 辛普森悖論（Simpson's paradox）

具體來說，就是 在進行分組研究的時候，有時在每個組比較時都佔優勢的一方，在總評中有時反而是失勢的一方的“悖論”現象就叫辛普森悖論。

現實中的很多資料，透過辛普森悖論，展現出引導性的錯誤結論。比如現實中的多幹多錯，少幹少錯，不幹不錯。

一個人經常犯錯並不能證明他就比其他更少犯錯的人能力低下，有可能是他從事更加複雜，出錯率更高的工作的時間佔比更大。

2、羅素悖論

羅素悖論屬於數理統計學中永遠無法逃避的一個悖論，這個悖論簡約、美麗、詭異，甚至導致了第三次數學危機的解決。

羅素悖論的準確表達應該是：

如果存在一個集合是由所有一切不屬於自身的集合組成的，也就是A={x | x∉ x }，那麼A包含於A是否成立？如果成立，則不符合x不屬於A；而如果A不包含於A，則符合x不屬於A。

羅素怕這個悖論很多人看不懂，於是給出了一個通俗版本：

假如某個城市的所有人，都在一位理髮師那裡理髮，而這位理髮師突然說：“我只為本城市中，不給自己刮臉的人刮臉！”於是，其他人對理髮師說：那麼你給自己刮臉嗎？

倘若他不給自己刮臉，那麼他屬於“不給自己刮臉的人”，按照他的說法他就要給自己刮臉；倘若他給自己刮臉，他又屬於“給自己刮臉的人”，按照他的說法就不該給自己刮臉。

3、伯克森悖論

將不同組別的資料合併時，會導致各組原本表現出來的某種規律消失，當這種情況發生時，合併之後呈現出的新規律甚至可能與每組的原本的規律相反。

舉個例子，某種治療手段在不同的組別裡對患者的身體恢復是有害的，但是將所有組別的資料合併起來看，我們卻會發現它竟然對患者身體的恢復是有幫助的。

它是怎麼發生的？

當組成各組的成分差別較大的時候，就可能出現上述現象。

如，對病人的數量進行篩選，使得兩組試驗中病人的組成差別很大（老人、小孩、成人的比例有很大的差別）時，將資料簡單的合併之後就會得出這樣的結論：有害的治療變成了有益的治療。

假設有一個雙盲試驗（在雙盲試驗中，受試驗的物件及研究人員並不知道哪些物件屬於對照組，哪些屬於實驗組），將患者分成兩組，每組有120人，但是兩組中患者的年齡結構有很大的差異（第一組分為10人、20人、30人、60人，第二組分為60人、30人、20人、10人）。第一組的患者將接受治療，而第二組的患者不進行治療。

總體結果表明，治療對患者是有益的，接受治療的患者的身體恢復率大於沒有接受治療的患者。

然而，當你深入研究兩組中各個患者群體時，你會發現在所有的患者群體中， 沒有接受治療的患者身體恢復率提高了。

我們注意到，每組中不同年齡的患者人數是不同的，甚至是差別很大的，這就是我們得出錯誤結果的原因。在這種情況下， 如果簡單的將兩組資料合併，就容易得出錯誤的結論。